Цілком впорядкована множина
Цілком впорядкована множина — лінійно впорядкована множина, в якій для кожної непорожньої підмножини існує найменший елемент відповідно до заданого порядку (див. Фундована множина).
Для цілком впорядкованих множин можна застосовувати трансфінітну індукцію для доведення тверджень для всіх елементів множини.
- Теорема Цермело: твердження, що довільну множину можна цілком впорядкувати — рівносильне аксіомі вибору чи лемі Цорна.
- Якщо X та Y — дві цілком впорядковані множини, то існує вкладення однієї множини в іншу зі збереженням порядку в обох множинах.
- Довільна цілком впорядкована множина ізоморфна зі збереженням порядку деякому порядковому числу, яке називається тип порядку цієї множини.
- Позиція елемента в цілком впорядкованій множині теж задається порядковим числом.
- Натуральні числа
- Незліченні цілком впорядковані множини можуть бути побудовані тільки з використанням аксіоми вибору.
На відміну від стандартного впорядкування для ≤ натуральних чисел, стандартне впорядкування ≤ цілих це не цілковите впорядкування, бо, наприклад, множина від'ємних чисел не містить найменшого елемента.
Наступне відношення R це приклад цілковитого впорядкування цілих: x R y тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних умов:
- x = 0
- x додатне і y від'ємне
- x і y обидва додані і x ≤ y
- x і y обидва від'ємні і |x| ≤ |y|
Це відношення R можна візуалізувати так:
- 0 1 2 3 4 ... −1 −2 −3 ...
R ізоморфне порядковому числу ω + ω.
Іншим відношенням для цілковитого впорядкування цілих є: x ≤z y тоді і тільки тоді, коли (|x| < |y| або (|x| = |y| і x ≤ y)). Цей цілковитий порядок можна візуалізувати так:
- 0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 ...
Тут тип порядку (позиція останнього елемента, якщо такий існує) ω.
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)