Точний функтор

Точний функтор — функтор, який переводить точні послідовності в точні послідовності. Точні функтори є зручними для обчислень в гомологічній алгебрі, оскільки їх можна відразу застосовувати до резольвенти об'єктів. Велика частина гомологічної алгебри була побудована для того, щоб зробити можливою роботу з функторами, які є в певному сенсі близькими до точних.

Означення

Нехай $P$ і $Q$ — абелеві категорії і $F:P\to Q$ — адитивний функтор. Розглянемо довільну коротку точну послідовність:

0\to A\to B\to C\to 0

об'єктів $P$ .

Якщо $F$ — коваріантний функтор, $F$ називається:

Напівточним, якщо $F(A)\to F(B)\to F(C)$ є точною послідовністю;
Точним зліва, якщо $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ є точною послідовністю;
Точним справа, якщо $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ є точною послідовністю;
Точним, якщо $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$ є точною послідовністю.

Якщо $G$ — контраваріантний функтор з $P$ в $Q$ , то $G$ називається:

Напівточним, якщо $G(C)\to G(B)\to G(A)$ є точною послідовністю;
Точним зліва, якщо $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$ є точною послідовністю;
Точним справа, якщо $G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$ є точною послідовністю;
Точним, якщо $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$ є точною послідовністю.

Не обов'язково брати в якості вихідної послідовність саме такого виду; наприклад, точний функтор можна визначити як функтор, що переводить точні послідовності виду $A\to B\to C$ в точні послідовності.

Існує також більш загальне означення яке вводить поняття точних функторів для більш загальних категорій, не обов'язково абелевих: коваріантний функтор точний зліва тоді і тільки тоді, коли він переводить скінченні границі в границі. При заміні слова «коваріантний» на «контраваріантний» або «зліва» на «справа» потрібно одночасно замінити «границі» на «кограниці». Точний функтор — функтор, точний зліва і справа.

Приклади

Будь-яка еквівалентність абелевих категорій є точним функтором.
Найбільш важливий приклад точного зліва функтора — функтор Hom. Якщо ${\mathcal {A}}$ — довільна локально мала абелева категорія і $A$ — її об'єкт, то $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ — коваріантний адитивний функтор в категорію абелевих груп ^[1]. Цей функтор є точним тоді і тільки тоді, коли $A$ є проективним модулем. Відповідно, контраваріантний функтор $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ є точним тоді і тільки тоді, коли $A$ є ін'ективним модулем.
Нехай $k$ є полем і $V$ — векторним простором над $k$ . Функтор, що ставить векторному простору у відповідність його спряжений простір $V^{*}=\mathrm {Hom} _{k}(V,k)$ є контраваріантним точним функтором з категорії $k$ -векторних просторів у себе (оскільки $k$ є ін'єктивним $k$ -модулем).
Нехай $X$ — топологічний простір і розглянемо абелеву категорію всіх пучків абелевих груп на $X$ . Функтор, що ставить у відповідність кожному такому пучку $F$ групу глобальних перетинів $F(X)$ є точним зліва.
Якщо $T$ — правий $R$ -модуль, то можливо визначити функтор $H_{T}$ з категорії лівих $R$ -модулів в $\mathbf {Ab}$ за допомогою тензорного добутку $R:H_{T}(X)=T\otimes X$ . Цей функтор є точним справа; він є точним тоді і тільки тоді, коли $T$ — плоский модуль.
Нехай $R$ — комутативне кільце, $S$ — його мультиплікативна підмножина. Функтор, що кожному $R$ -модулю $M$ ставить у відповідність модуль часток $M_{S}$ є точним функтором із категорії $R$ -модулів у категорію $R_{S}$ -модулів.