Теорія Галуа

Теорія Галуа — розділ алгебри, що вивчає зв'язок між розширенням полів (зокрема полями розкладу многочленів) і групами автоморфізмів у полях. Історично початок теорії поклали дослідження Евариста Галуа щодо розв'язності многочленів у радикалах де він використовував поняття груп перестановок коренів многочлена.

Застосування до класичних задач

Теорія Галуа дає єдиний елегантний підхід до рішення таких класичних задач як

1. Які фігури можна побудувати циркулем і лінійкою?
2. Які алгебраїчні рівняння розв'язуються за допомогою стандартних операцій алгебри (додавання, віднімання, множення, ділення і обчислення кореня)?

Симетрії коренів

Симетрії коренів — перестановки на множині коренів многочлена, для якого будь-якому алгебраїчному рівнянню з раціональними коефіцієнтами, якому задовольняють корені, задовольняють і перестановки коренів.

Приклад: квадратне рівняння

У многочлена другого степеня a x² + b x + c є два корені x₁ і x₂, симетричні щодо точки x=-b/2a. Можливі два варіанти:

• Якщо ці корені раціональні, то рівнянню x-x₁=0 задовольняє тільки один корінь, і група рівняння тривіальна.
• Якщо корені ірраціональні, то група містить один нетривіальний елемент x₁⇔x₂, і ізоморфна $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Складніший приклад

Розглянемо тепер многочлен (x²−5)²−24.

Його корені: $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Існує 4!=24 різних перестановки коренів цього рівняння, але не всі вони є симетріями. Елементи групи Галуа повинні зберігати будь-які рівняння алгебри з раціональними коефіцієнтами.

Одне з таких рівнянь - a+d=0. Оскільки a+c≠0, перестановка a→a, b→b, c→d, d→c не входить до групи Галуа.

Крім того, можна помітити, що (a+b)²=8, але (a+c)²=12. Тому перестановка a→a, b→c, c→b, d→d не входить до групи.

Остаточно можна одержати, що група Галуа многочлена складається з чотирьох перестановок:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)

(a, b, c, d) → (c, d, a, b)

(a, b, c, d) → (b, a, d, c)

(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

і є 4-групою Клейна, ізоморфною $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

Формулювання в термінах теорії полів

Теорія полів дає загальніше визначення групи Галуа. При сучасному підході до теорії Галуа основними об'єктами вивчення є скінченні розширення поля K та групи автоморфізмів на L/K (тобто ізоморфізмів α: L → L для яких α(x) = x для всіх x з поля K). Дана група ізоморфізмів також називається групою Галуа. Якщо розширення поля є розширенням Галуа (тобто скінченним, нормальним і сепарабельним) то існує взаємно-однозначна відповідність між підгрупами групи Галуа і полями, такими, що K ⊆ E ⊆ L. Для довільного многочлена f над полем K, поле розкладу L цього многочлена є розширенням Галуа поля K, тож можна визначити його групу Галуа. Оскільки будь-який автоморфізм α з цієї групи залишає незмінними елементи поля K, а також α(0) = 0, то 0=α(f(x₁))=α(f(x₂)), де x₁ — деякий корінь рівняння f, а x₂ = α(x₁). Отже кожен автоморфізм на L/K переводить корені рівняння в корені рівняння і відповідно визначає перестановку на множині цих коренів. Навпаки кожна перестановка на множині коренів рівняння визначає автоморфізм на L/K. Ці властивості показують зв'язок між класичною і сучасною теорією Галуа.

У класичній теорії Галуа як основне поле використовується поле раціональних чисел $\mathbb {Q}$.

Розв'язні групи і рішення рівнянь у радикалах

Корені алгебраїчного рівняння P(x)=0 виражаються в радикалах тоді і тільки тоді, коли група рівняння розв'язна.

Існують многочлени n- го степеня над полем раціональних чисел група Галуа яких ізоморфна симетричній групі S_n, тобто складається зі всіх можливих перестановок. Оскільки групи S_n при n>4 не є розв'язною, існують многочлени степеня n, корені яких не можна записати у вигляді радикалів — теорема Абеля—Руффіні. Наприклад якщо многочлен незвідний над полем раціональних чисел, його степінь — просте число p і p-2 корені цього многочлена є дійсними то його група Галуа ізоморфна S_n. Прикладом такого многочлена є зокрема: $f(x)=x^{5}-6x+3$

Див. також

• Розв'язна група
• Розширення Галуа

Література

Українською

1. Дрозд Ю. А. (1997). Теорія Галуа (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. ISBN 966-594-022-8. (укр.)
2. Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
3. Николайчук, Ярослав Миколайович (2012). Коди поля Галуа : теорія та застосування. Тернограф. с. 576. ISBN 978-966-457-135-4. Архів оригіналу за 19 грудня 2021. Процитовано 19 грудня 2021.

Іншими мовами

1. Robert B. Ash (2006). Basic Abstract Algebra: For Graduate Students and Advanced Undergraduates. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486453569. Архів оригіналу за 27 вересня 2021. Процитовано 22 січня 2022. (Chapter 6: Galois Theory) (англ.)
2. Ian Stewart (1989). Galois Theory. Chapman and Hall. ISBN 0-412-34550-1. (англ.)
3. Jörg Bewersdorff (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. (англ.)
4. Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 . (англ.)
5. Jean-Pierre Tignol. Galois' Theory Of Algebraic Equations. — World Scientific Publishing Company, 2001. — 348 с. — ISBN 978-9810245412. (англ.)
6. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
7. Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Фізматгиз, 1963. (рос.)

Див. також

• Диференціальна теорія Галуа

Посилання

1. Dan Goodman (2002), An Introduction to Galois Theory [Архівовано 6 червня 2016 у Wayback Machine.]. (англ.)
2. Teruyoshi Yoshida (2010), Galois Theory , University of Cambrdige. (англ.)