Спектр оператора

Спектр оператора — множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці.

Нехай A — оператор, що діє в комплексному банаховому просторі E. Комплексне число λ має назву регулярного для оператора A, якщо оператор $R(\lambda )=(A-\lambda I)^{-1}$, що має назву резольвенти оператора A, визначений на всьому E і неперервний. Множина регулярних значень оператора A має назву резольвентної множини цього оператора, а доповнення резольвентної множини — спектром цього оператора. Спектр оператора є непорожнім компактом на комплексній площині $\mathbb {C} .$

В спектрі оператора можна виділяти частини, не однакові по своїх властивостях. Однією з основних класифікацій спектру є наступна:

1. дискретним (точковим) спектром називається множина всіх власних значень оператора A;
2. неперервним спектром називається множина значень $\lambda$, при яких резольвента $(A-\lambda I)^{-1}$ визначена на всюду щільній множині в E, але не є неперервною;
3. залишковим спектром називається множина точок спектру, що не входять ні до дискретної, ні до безперервної частин.

Максимум модулів точок спектру оператора A називається спектральным радіусом цього оператора і позначається через $r(A)$. При цьому виконується рівність $r(A)=\lim _{n\to \infty }\|A^{n}\|^{1/n}.$

Резольвента є голоморфною операторнозначною функцією на резольвентній множині. Зокрема, при $\lambda >r(A)$ вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці $z=0$.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)