Ряд Діріхле

Рядом Діріхле називається ряд виду

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

де s і a_n — комплексні числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число $\sigma _{c}$, що при $\operatorname {Re} s>\sigma _{c}$ цей ряд збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число $\sigma _{a}$, що при $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$ (якщо $\sigma _{c}$ і $\sigma _{a}$ скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле.

Ряд названий на честь Густава Діріхле.

Приклади

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

Де ζ(s) — дзета-функція Рімана.

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

де μ(n) — функція Мебіуса.

${\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}$

де L(χ,s) — L-функція Діріхле.

Похідні

Нехай

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

Тоді можна довести

$F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}$

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re s > σ₀, тоді

${\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}$

збігається для Re s > σ₀. В даній формулі $\scriptstyle \Lambda (n)$ позначає функцію фон Мангольдта.

Добуток рядів

Нехай маємо ряди

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$

і

$G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.$

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

${\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .$

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

${\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Діріхле

Література

• Мандельбройт С. Ряды Дирихле. — М.: Мир, 1973
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Tom M. Apostol. Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. ISBN 978-0-387-97127-8