Одинична матриця

Одинична матриця — квадратна матриця розміру $\ n$ з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах.

Зазвичай позначається як $\ I$, іноді з індексом, що вказує розмірність: $\ I_{n}$.

Одинична матриця належить до:

• діагональних,
• ортогональних,
• додатноозначених,
• ортогонально-проєкційних матриць
• та бінарних матриць.

Приклади

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \cdots ,\quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Властивості

• Квадратна матриця в нульовому степені дає одиничну матрицю того ж розміру:

$\ A^{0}=I.$

• Добуток невиродженої квадратної матриці на обернену матрицю дає одиничну матрицю:

$\ AA^{-1}=I.$

• Оберненою до одиничної матриці є вона сама:

$\ I_{n}^{-1}=I_{n}.$

• Визначник одиничної матриці $\ I_{n}$ рівний +1, а ранг та слід рівні $\ n.$
• Власними значеннями $\ I_{n}$ одиничної матриці є (+1) кратності $\ n.$
• Множення довільної матриці на одиничну відповідної розмірності дає в результаті ту ж саму матрицю, тобто вона є нейтральним елементом для множення матриць:

$\ I_{m}A=AI_{n}=A.$

Зокрема, одинична матриця $\ I_{n}$ є нейтральним елементом для GL(n) загальної лінійної групи (групи всіх невироджених квадратних матриць розміру $\ n$).

Див. також

• Теорія матриць
• Нульова матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)