Мінором
-го порядку матриці
називається визначник матриці, утвореної елементами на перетині
стовпців та
рядків.
Нехай
— матриця розміру
, в якій вибрано довільні
- рядків з номерами
та
- стовпців з номерами
![{\displaystyle \ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842edc35e9dc07c36fa0ec02b3d41c248de1f0a3)
Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку
.
Визначник матриці, яка одержується з
викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором
-го порядку, розташованим в рядках з номерами
та стовпцях з номерами
.
![{\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e7103c1b31219b4636ed4c4bb14a7629285bda)
Якщо
є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці
називається доповнювальним мінором до мінору
![{\displaystyle {\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6771083d4af019ee53344a446fd5dc08ba7a035c)
- де
та
— номери не вибраних рядків і стовпців.
- Мінором
елемента
квадратної матриці
порядку
називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника
n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент ![{\displaystyle \ a_{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256290e7670abc91cb1a8987e81f4ba1e01703b2)
- Нехай
— деякий мінор порядку
матриці
. Мінор порядку
матриці називається оточуючим для мінора
, якщо його матриця містить в собі матрицю мінору
. Таким чином, оточуючий мінор для мінора
можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.
- Базисним мінором ненульової матриці
(існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
- Для
-матриці
мінори виду
, де
і
називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.
- Розглянемо матрицю
розміру
:
— мінор 2-го порядку.
- Загалом для цієї матриці є
мінорів другого порядку.
- Мінор
квадратної матриці
— визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=\left(9-\left(-4\right)\right)=13.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042ad345e7528db3f6bc3cd2de4f388535f3528a)
- Для матриці
розміру
існує
різних мінорів порядку
, де
.
- Теорема Лапласа. Нехай
— квадратна матриця розміру
в якій вибрано довільні
рядків. Тоді визначник матриці
рівний сумі всіляких добутків мінорів
-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.
![{\displaystyle \det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5afa9d34e535372a08ffe8e6a1873c385268e36b)
- де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців
Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати
стовпців з
, тобто біноміальному коефіцієнту
.
- Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.
- Рядки ненульової матриці
на яких будується її базисний мінор
є лінійно незалежними.
- Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
- Нехай
є матрицею розміру
,
є матрицею розміру
і
є їх добутком. Позначатимемо
мінори відповідних матриць. Тоді для мінора
де
і
є номерами рядків, а
— номерами стовпців, якщо
то
В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць
і
за допомогою формули:
![{\displaystyle _{C}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\sum _{1\leqslant l_{1}<\ldots <l_{k}\leqslant n}\ _{A}M_{l_{1},\ldots ,l_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}\cdot \ _{B}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{l_{1},\ldots ,l_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582c2316536ebe735693bc0886d73dbc2ab6c514)
- Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.
- Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць
і
є однаково.
- Характеристичний многочлен
квадратної матриці
можна записати як
, де
позначає суму головних мінорів порядку
матриці
Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.