Модель руху Бігама — Міддлтона — Левіна
Модель руху Бігама-Міддлтона-Левіна — це самоорганізований клітинний автомат. Вона складається з ряду автомобілів представлених точками на решітці з випадковою початковою позицією, де автомобіль може бути одного з двох типів: ті, що рухатися тільки вниз (показано синім), і ті, які рухаються тільки вправо (показано червоним). Два типи машин рухаються по черзі. Під час кожного ходу, всі автомобілі відповідного типу роблять один крок, якщо вони не заблоковані іншою машиною. Це можна вважати двовимірним аналогом простішої моделі правила 184. Це можливо найпростіша система експонування фазових переходів і самоорганізації.[1]
Модель руху Бігама-Міддлтона-Левіна вперше сформулювали Офер Бігам, А. Алан Міддлтон і Дов Левін в 1992 році.[2] Бігам і співавт. виявили, що зі збільшенням щільності руху, стаціонарний потік руху раптово перейшов з плавного потоку до повного затору. У 2005 році Раїса Д'Суза[en] виявила, що за деякої інтенсивності руху, є проміжний етап, що характеризується періодичним чергуванням заторів і плавного потоку.[3] У тому ж році, Ангел, Холройд і Мартін були першими, хто строго довів, що для щільності близької до одиниці, система буде постійно переходити у затор.[4] Пізніше, в 2006 році, Тім Остін і Ітаї Бенджаміні визначили, що для квадратної решітки зі стороною N, модель буде завжди самоорганізуватися, щоб досягти повної швидкості, якщо на ній є менше, ніж N/2 автомобілів.[5]
Автомобілі, як правило, розміщуються на квадратній решітці, яка топологічно еквівалентна торусу: тобто, автомобілі, які рухаються вправо будуть заново з'являтися з лівого краю; і автомобілі, які рухаються за нижню межу будуть з'являтися на верхній грані.
Проводилися також дослідження, в прямокутних решітках замість квадратних. Для прямокутників з взаємно простими розмірностями, проміжні стани є самоорганізованими групами заторів і вільного руху з детальною геометричною структурою, які періодично повторюються в часі.[3] У не взаємно простих прямокутниках, проміжні стани, як правило, невпорядковані, а не періодичні.[3]
Незважаючи на простоту моделі, вона має дві дуже помітні фази — фаза затору, і фаза вільного руху.[2] Для малої кількості автомобілів, система, як правило, організовує себе для досягнення плавного потоку руху. У випадку ж великої кількість машин, система стане заповненою до такої міри, що жоден автомобіль не зможе продовжувати рух. Як правило, в квадратній решітці, фаза змінюється, коли кількість автомобілів досягає 32 % від всіх можливих місць на сітці.[6]
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Проміжна фаза поєднує в собі риси як вільної фази, так і фази затору. Є дві проміжні фази — невпорядкована (яка може бути мета-стабільною) і періодична (яка доказово стабільна).[3] На прямокутній решітці з взаємно простими розмірностями, існують тільки періодичні орбіти.[3] У 2008 році періодичні проміжні фази було виявлено також у квадратних решітках.[7] Тим не менш, на квадратних решітках невпорядковані проміжні фази спостерігаються частіше і схильні домінувати щільність близько до перехідної області.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Незважаючи на простоту моделі, строгий аналіз є вельми нетривіальним.[6] Тим не менш, є математичні доведення, що стосуються моделі руху Бігама-Міддлтона-Левіна. Доведення досі були обмежені до крайності щільності руху. У 2005 році Олександр Холройд і співавт. довели, що для щільності досить близької до одиниці, система не буде мати автомобілів, що рухаються нескінченно часто.[4] У 2006, Тім Остін і Ітаї Бенджаміні доведели, що модель буде завжди доходити до фази вільного руху, якщо кількість автомобілів не перевищує половини довжини кромки для квадратної решітки.[5]
Модель зазвичай вивчається на орієнтованому торусі, але решітку можна також реалізувати на пляшці Клейна.[8] Коли червоні машини досягають правого краю, вони знову з'являються на лівому краю, крім дзеркального відображення по вертикалі; ті, що внизу, тепер нагорі, і навпаки. Більш формально, для кожного червоний автомобіль, що покинув сторону , зайде зі сторони . Можна також реалізувати на дійсній проективній площині.[8] На додаток до розвертання червоних машин, те ж саме робиться для синіх: кожен синій автомобіль, що проїхав сторону , заїде зі сторони .
Поведінка системи на пляшці Клейна більш схожа на торус, ніж на дійсній проективній площині.[8] Для пляшки Клейна, мобільність як функція щільності починає зменшуватися трохи раніше, ніж у другому випадку, хоча поведінка є аналогічною при щільності більшій за критичні точки. Мобільність на дійсній проективній площині зменшується більш поступово для густин від нуля до критичної точки. На дійсній проективній площині, місцеві затори можуть утворюватися в кутах решітки, навіть якщо інша частина решітки є вільною.[8]
Рандомізований варіант моделі Бігама-Міддлтона-Левіна (BML), називається BML-R, почав вивчатись у 2010 році.[9] Замість оновлення всіх автомобілів одного кольору водночас протягом кожного кроку, рандомізована модель виконує оновлень (де — довжина сторони квадратної решітки): кожен раз, випадкову клітинку і, якщо вона містить машину, переміщають в наступну комірку, якщо це можливо. У цьому випадку проміжний стан, що спостерігається в звичайній моделі BML, не існує, через невизначений характер рандомізованих моделей; замість того, перехід від фази затору до фази вільного руху відбувається різко.
При відкритих граничних умовах, замість того, щоб автомобілі, які виїдуть з одного краю з'являлись з іншого боку, нові автомобілі будуть додані на лівий і верхній кордони з імовірністю і видалені з правого і нижнього країв відповідно. У цьому випадку, кількість автомобілів в системі, може змінюватися з плином часу, і місцеві затори можуть приводити решітку у зовсім інший стан, ніж звичайна модель, наприклад формувати співіснування заторів та зон вільного руху, появу великих порожніх зон або появу зон, що в основному складаються з автомобілів одного типу.[9]
- ↑ D'Souza, Raissa. The Biham–Middleton–Levine traffic model. Процитовано 4 січня 2015.
- ↑ а б Biham, Ofer; Middleton, A. Alan; Levine, Dov (November 1992). Self-organization and a dynamical transition in traffic-flow models. Phys. Rev. A. American Physical Society. 46 (10): R6124—R6127. arXiv:cond-mat/9206001. Bibcode:1992PhRvA..46.6124B. doi:10.1103/PhysRevA.46.R6124. ISSN 1050-2947. PMID 9907993. Архів оригіналу за 24 лютого 2013. Процитовано 14 грудня 2012.
- ↑ а б в г д D'Souza, Raissa M. (2005). Coexisting phases and lattice dependence of a cellular automaton model for traffic flow. Phys. Rev. E. The American Physical Society. 71 (6): 066112. Bibcode:2005PhRvE..71f6112D. doi:10.1103/PhysRevE.71.066112. PMID 16089825. Архів оригіналу за 24 лютого 2013. Процитовано 14 грудня 2012.
- ↑ а б Angel, Omer; Holroyd, Alexander E.; Martin, James B. (12 серпня 2005). The Jammed Phase of the Biham–Middleton–Levine Traffic Model. Electronic Communications in Probability. 10: 167—178. arXiv:math/0504001. Bibcode:2005math......4001A. doi:10.1214/ECP.v10-1148. ISSN 1083-589X. S2CID 10913106. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 14 грудня 2012.
- ↑ а б Austin, Tim; Benjamini, Itai (2006). For what number of cars must self organization occur in the Biham–Middleton–Levine traffic model from any possible starting configuration?. arXiv:math/0607759.
{{cite arXiv}}: Вказано більш, ніж один|authorlink2=та|author2-link=(довідка); Вказано більш, ніж один|eprint=та|arxiv=(довідка); Вказано більш, ніж один|first1=та|first=(довідка); Вказано більш, ніж один|last1=та|last=(довідка) - ↑ а б Holroyd, Alexander E. The Biham–Middleton–Levine Traffic Model. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 14 грудня 2012.
- ↑ Linesch, Nicholas J.; D'Souza, Raissa M. (15 жовтня 2008). Periodic states, local effects and coexistence in the BML traffic jam model. Physica A. 387 (24): 6170—6176. arXiv:0709.3604. Bibcode:2008PhyA..387.6170L. doi:10.1016/j.physa.2008.06.052. ISSN 0378-4371. Процитовано 14 грудня 2012.
- ↑ а б в г Cámpora, Daniel; de La Torre, Jaime; García Vázquez, Juan Carlos; Caparrini, Fernando Sancho (August 2010). BML model on non-orientable surfaces. Physica A. 389 (16): 3290—3298. Bibcode:2010PhyA..389.3290C. doi:10.1016/j.physa.2010.03.037. Процитовано 12 червня 2013.
- ↑ а б Ding, Zhong-Jun; Jiang, Rui; Wang, Bing-Hong (2011). Traffic flow in the Biham–Middleton–Levine model with random update rule. Physical Review E. 83 (4): 047101. Bibcode:2011PhRvE..83d7101D. doi:10.1103/PhysRevE.83.047101.
 | На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій. |