Метризовний простір

Метризовний простір — топологічний простір, що є гомеоморфним деякому метричному простору. Інакше кажучи, простір, топологія якого породжується деякою метрикою. Якщо така метрика існує, то вона не є єдиною за винятком тривіальних випадків: коли простір є порожнім або складається лише з однієї точки. Наприклад, топологія кожного метризовного простору породжується деякою обмеженою метрикою.

Необхідні умови метризовності

• У метризовних просторах виконуються сильні аксіоми віддільності: такі простори є нормальними і навіть колективно нормальними.
• Усі метризовні простори є паракомпактними.
• Всі метризовні простори задовольняють першу аксіому зліченності.

Достатня умова метризовності

Теорема Урисона. Усі гаусдорфові нормальні простори (і, більш загально, гаусдорфові регулярні простори) зі зліченною базою є метризовними.

Еквівалентні умови метризовності

• Простір є метризовним в тому і тільки в тому випадку, коли він є колективно нормальним і має зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються;
• Критерій Стоуна — Архангельського: простір є метризовним у тому і тільки в тому випадку, коли він має зліченну фундаментальну множину відкритих покриттів і задовольняє $T_{1}$-аксіому віддільності. Множина відкритих покриттів простору $X$ називається фундаментальною, якщо для кожної точки $x\in X$ і кожного її околу $U_{x}$ існує покриття ${\mathcal {P}}$ і окіл $O_{x}$ точки $x$ такі, що кожен елемент покриття ${\mathcal {P}}$, що перетинається з $O_{x}$, міститься в $U_{x}$.

На іншій важливій ​​концепції — локальній скінченності, засновані інші загальні критерії.

• Критерій Нагати — Смирнова: простір $X$ є метризовним в тому і тільки в тому випадку, якщо він є регулярним і має базу, що розпадається на зліченну множину локально скінченних сімей множин.
• Критерій Бінга є аналогічним але в ньому замість локально скінченних сімей розглядають дискретні сім'ї множин.

Зручні варіанти наведених вище основних критеріїв метризовності пов'язані з поняттями рівномірної бази і регулярної бази. База ${\mathcal {B}}$ простору $X$ називається регулярною (рівномірною), якщо для будь-якої точки $x\in X$ і будь-якого її околу $O_{x}$ існує окіл $U_{x}$ цієї точки такий, що кількість елементів бази ${\mathcal {B}}$, які перетинають одночасно $U_{x}$ і доповнення до $O_{x}$, є скінченною (відповідно, якщо множина елементів $\Omega \in {\mathcal {B}}$ таких що $\Omega \ni x$, $\Omega \not \subset O_{x}$ є скінченною).

• Простір $X$ є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є колективно нормальним і має рівномірну базу.
• Для метризовності $T_{1}$-простору необхідно і достатньо, щоб він мав регулярну базу.

• По теоремі Ковальського, зліченний степінь їжака колючості ${\mathfrak {m}}$ (при ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$) є універсальним простором для всіх метризовних просторів ваги ${\mathfrak {m}}$. Таким чином, простір є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є гомеоморфним підпростору зліченного степеня їжака деякої колючості ${\mathfrak {m}}$.

Окремі випадки

Для деяких спеціальних класів просторів критерії метризовності є простішими.

Так, для метризовності компактного простору $X$ необхідно і достатньо виконання одної із умов:

• $X$ має зліченну базою;
• $X$ має точково-зліченну базою;

Для метризовності простору топологічної групи необхідно і достатньо, щоб в останньому виконувалася перша аксіома зліченності і аксіома віддільності $T_{0}$; також тоді простір є метризовним інваріантною метрикою (наприклад, по відношенню до множення зліва).

Простір $C(X,M)$ із хемікомпактного простору $X$ у метризовний простір $M$ із компактно-відкритою топологією є метризовним.

Повні і неповні метрики

Не всі метризовні простори можна метризувати повною метрикою; прикладом метризовного простору на якому це неможливо є простір раціональних чисел.

Простір є метризовним повною метрикою в тому і тільки в тому випадку, якщо він є метризовним і повно за Чехом, тобто є множиною типу G_δ в деякому компакті, що його містить.

Важливою топологічною властивістю просторів, що метризуються повною метрикою, є властивість Бера: перетин будь-якої зліченної сім'ї усюди щільних відкритих множин є всюди щільною множиною.

Варіації і узагальнення

До метризовних просторів найбільш близькі за властивостями морівські простори — цілком регулярні простори, що мають зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються і мереживні простори.

Широкий спектр узагальнень поняття метризовності простору одержується послабленням аксіом метрики і розглядом породжених такими «метриками» топологій. Таким прикладом є симетризовні простори, які одержуються відмовою від аксіоми нерівності трикутника. У цю схему вкладаються і морівські простори.

Інші важливі узагальнення поняття метризовності пов'язані з розглядом «метрик» зі значеннями в напівполі та інших алгебричних структурах.

Література

• Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Москва : Наука, 1973.