Коло
Коло | |
![]() | |
Досліджується в | метрична геометрія, планіметрія і Евклідова геометрія |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Характеристика Ейлера | 0 |
![]() |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Geometri_cirkel.png)
Ко́ло — це геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є сталою величиною і дорівнює радіусу кола. Коло є найпростішою замкненою фігурою.
Простіше визначення: коло — це замкнена крива, всі точки якої рівновіддалені від однієї, яка є центром кола. Частина площини, обмежена колом, — це круг.
Коло також можна визначити як особливий вид еліпса, в якого два фокуси збігаються, а ексцентриситет дорівнює 0, або як двовимірну форму, що охоплює найбільшу площу на одиницю квадрата периметра, якщо використовувати мову варіаційного числення.
Коло з центром у точці і радіусом позначають .
Інструментом для побудови кола є циркуль.
Коло є плоскою фігурою, що обмежено однією лінією, такою, що всі прямі лінії, які можна намалювати з певної точки в середині неї до обмежувальної лінії, є рівними. Обмежувальна лінія називається окружністю, а точка є центром.
Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.
Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд — діаметр — проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.
Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).
Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.
![]() |
![]() |
Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/God_the_Geometer.jpg/200px-God_the_Geometer.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/IlkhanateSilkCircular.jpg/200px-IlkhanateSilkCircular.jpg)
Коло було відомим ще до початку записаної історії. Люди могли спостерігати кола в природі, такі як Місяць, Сонце, коротке стебло рослини, яке крутить вітер і утворює коло на піску. Коло є основою колеса, що стало революційним винаходом, а з пов'язаним з ним зубчастим колесом зробило можливим існування сучасних механічних машин. У математиці вивчення кола допомогло розвитку геометрії, астрономії і числення.
Ранній розвиток науки, зокрема геометрії, астрології та астрономії, пов'язували з божественним для середньовічних вчених, більшість з яких вірила, що існує щось «божественне» або «досконале», яке можна знайти, вивчаючи коло.[1][2]
Деякі важливі та цікаві моменти з історії кола:
- 1700 до н. е. — Папірус Рінда описує метод обчислення площі круглого поля. Результат відповідає такому значенню 256/81 (3.16049…), що дає наближене значення числа π[3]
- 300 до н. е. — Книга 3 із Начал Евкліда (Елементи) присвячена властивостям кола.
- У Сьомому листі[en] Платона подано детальне визначення і пояснення кола. Платон пояснює, що таке ідеальне коло і чим воно відрізняється від будь-якого малюнка, слів, визначень або пояснень.
- 1880 н. е. — Ліндеман довів, що π є трансцендентним числом, що дало остаточну відповідь на задачу тисячоліття про квадратуру круга.[4]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Circle_center_a_b_radius_r.svg/225px-Circle_center_a_b_radius_r.svg.png)
Коло радіуса на площині з декартовою системою координат описується рівнянням:
де r — радіус кола, точка (a, b) — центр кола.
Це рівняння випливає з теореми Піфагора при її застосовувані до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус є гіпотенузою прямокутного трикутника, катети якого та .
Рівняння кола з радіусом і центром в початку координат має вигляд:
Загальне рівняння кола:
Якщо відомі координати трьох точок на площині і , то рівняння кола, яке проходить через ці точки, можна записати через визначник:
Коло радіуса на площині в декартовій системі координат і описується системою рівнянь:
де параметр — пробігає значення від до . З геометричної точки зору — це кут до осі променя, проведеного з початку координат до точки . Якщо записати та через параметр , що пробігає множину всіх дійсних чисел, отримаємо:
Рівняння кола в полярних координатах:
де — радіус кола, — відстань від початку координат до центра кола та — кут, відкладений проти годинникової стрілки від додатної осі до лінії, що з'єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого розташований в початку координат , це рівняння спрощується до вигляду . Якщо або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:
- .
В загальному випадку, рівняння можна розв'язати для r:
- ,
Розв'язок зі знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.
Рівняння кола на комплексній площині:
- , де — центр кола з радіусом ,
або в параметричному вигляді
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Apollonius_circle_definition_labels.svg/200px-Apollonius_circle_definition_labels.svg.png)
Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками.
- Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і до того ж тільки одне.
- Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.
- Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих певної довжини коло обмежує область максимальної площі.
- Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
- Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
- Вписаний кут, що спирається на діаметр кола, дорівнює 90°.
- Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом, дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.
- Кут між хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті, і дуги навпроти неї.
- Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
- Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
- При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків, на які ділиться інша.
- Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині степені точки відносно кола.
- Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.
Довжину дуги кола з радіусом , утвореного центральним кутом , виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою
- .
Довжину кола з радіусом можна обчислити за формулою
- ,
де — число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.
Площа обмеженого колом круга дорівнює
- ,
де — діаметр.
Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру круга: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрата з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцендентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеман.
Коло є простою плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перетину. У вужчому сенсі коло — окремий випадком еліпса, тобто еліпс з однаковими півосями, або іншими словами, коло є еліпсом з нульовим ексцентриситетом.
Рівняння дотичної до кола в точці визначається рівнянням
- ,
де A, B і С — коефіцієнти в загальному рівнянні кола.
Рівняння нормалі в цій же точці можна записати як
- ↑ Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959) (англ.)
- ↑ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato [Архівовано 2017-01-23 у Wayback Machine.] Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, «Of Plato» (англ.)
- ↑ Chronology for 30000 BC to 500 BC [Архівовано 2008-03-22 у Wayback Machine.]. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
- ↑ Squaring the circle [Архівовано 2008-06-24 у Wayback Machine.]. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
- Коло // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 109. — 594 с.
- Коло (PlanetMath.org вебсайт)
- Weisstein, Eric W. Circle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Інтерактивні Java додатки [Архівовано 6 червня 2017 у Wayback Machine.] для ілюстрації властивостей та елементарних побудов із колами.
- Коло [Архівовано 17 березня 2019 у Wayback Machine.] на сайті cut-the-knot
- FIZMA.neT [Архівовано 15 травня 2021 у Wayback Machine.] — Математика онлайн (Коло та його елементи)
- Що Таке Коло: Огляд і Практичні Застосування (mathros.net.ua)
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
|
|