Дискретний простір

Дискре́тний простір в загальній топології і суміжних галузях математики — топологічний простір, в якому всі точки ізольовані одна від одної.

Визначення

• Нехай $X$ — деяка множина, а ${\mathcal {T}}$ - сім'я всіх його підмножин. Тоді ${\mathcal {T}}$ є топологією, що називається дискретною топологією, а пара $(X,{\mathcal {T}})$ називається дискретним топологічним простором.
• Нехай $(X,\varrho )$ - метричний простір, де метрика $\varrho$ визначена так:

$\varrho (x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\not =y\\0,&x=y\end{matrix}}\right.,\quad x,y\in X.$

Тоді $\varrho$ називається дискре́тною ме́трикою, а весь простір називається дискретним метричним простором.

Зауваження

Топологія, що індукується дискретною метрикою, є дискретною. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Метрика, що не є дискретною, може породжувати дискретну топологію.

Приклади

• Нехай $X=\ 1,\ldots n\,$ де $n\in \mathbb {N}$, і $\varrho$ - дискретна метрика на $X$. Тоді $(X,\varrho )$ - дискретний метричний, а отже і топологічний простір.
• Нехай $X=\{1/n\}_{n\in \mathbb {N} },$ и $\varrho (x,y)=|x-y|.$ Очевидно, задана метрика не дискретна. Проте, вона породжує дискретну топологію.

Властивості

• Ця топологія є найсильнішою топологією на множині $X$.
• Довільна підмножина $X$ є одночасно відкритою і замкненою.
• Кожна точка простору $X$ ізольована в $X$.
• Кожне відображення з дискретного простору неперервне.
• Дискретна топологія породжується дискретною метрикою. Тому дискретний простір цілком нормальний.
• Одноточкові множини дискретного топологічного простору утворюють його базу.
• Дискретний простір сильно локально компактний, задовольняє першу аксіому зліченності та паракомпактний.
• Дискретний топологічний простір компактний тоді і тільки тоді, коли він скінченний.
• Дискретний простір σ-компактний, ліндельофів, задовольняє другу аксіому зліченності і сепарабельний в тому й лише в тому разі, коли він не більш ніж зліченний. Скінчений дискретний простір має всі потужністні характеристики.
• Дискретний простір є повним метричним простором другої категорії.
• $X$ локально зв’язний і локально лінійно зв’язний. Якщо $X$ містить більше однієї точки, то він не зв’язний, а отже не лінійно зв’язний і не дугово зв’язний.
• Дискретна топологія породжується дискретною рівномірністю, яка складається з усіх підмножин декартового квадрату $X\times X$, що містять його діагональ. Ця діагональ є базою цієї рівномірності.
• Будь-які два дискретні топологічні простори, що мають однакову потужність гомеоморфні.
• Будь-яка дискретна підмножина евклідового простору є не більше ніж зліченною.

Див. також

• Антидискретна топологія
• Топологічний простір

Література

1. Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
2. Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
3. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446