Алгоритм Рамера — Дугласа — Пекера

Алгоритм Рамера-Дугласа-Пекера — алгоритм, що дозволяє зменшити число точок кривої, апроксимованої більшою серією точок. Алгоритм було незалежно відкрито Урсом Рамером в 1972 та Давидом Дугласом і Томасом Пекером в 1973 та декількома іншими дослідниками протягом наступного десятиліття. Також алгоритм відомий під назвами: алгоритм Дугласа-Пекера, алгоритм ітеративної найближчої точки та алгоритм розбиття і злиття.

Ідея

Суть алгоритму полягає в тому, щоб за даною ламаною, яка апроксимує криву, побудувати ламану з меншою кількістю точок. Алгоритм визначає розбіжність, яка обчислюється за максимальною відстанню між вихідною і спрощеною кривими. Спрощена крива складається з підмножини точок, які визначаються з початкової кривої.

Алгоритм

Згладжування кусково-лінійної кривої алгоритмом Дугласа-Пекера.

Згладжування кусково-лінійної кривої алгоритмом Дугласа-Пекера залежно вiд параметра ε.

Початкова крива являє собою упорядкований набір точок або ліній, і задану відстань ε > 0. Початкова крива показана на малюнку 0, спрощена — на малюнку 4.

Алгоритм рекурсивно ділить лінію. Входом алгоритму служать координати всіх точок між першою і останньою. Перша і остання точка зберігаються незмінними. Після чого алгоритм знаходить точку, найбільш віддалену від відрізка, що з'єднує першу і останню. Якщо точка знаходиться на відстані, меншій ε, то всі точки, які ще не були відзначені до збереження, можуть бути викинуті з набору і отримана пряма згладжує криву з точністю не нижче ε

Якщо ж відстань більше ε, то алгоритм рекурсивно викликає себе на наборі від початкової до даної і від даної до кінцевої точках (що означає, що дана точка буде відзначена до збереження). По закінченню всіх рекурсивних викликів вихідна ламана будується тільки з тих точок, що були відзначені до збереження.

Псевдокод (рекурсивна реалізація)

function DouglasPeucker(PointList[], epsilon)
 // Знаходимо точку з максимальною відстанню від прямої між першою й останньою точками набору
 dmax = 0
 index = 0
 for i = 2 to (length(PointList) - 1)
  d = PerpendicularDistance(PointList[i], Line(PointList[1], PointList[end])) 
  if d > dmax
   index = i
   dmax = d
  end
 end
 
 // Якщо максимальна дистанція більша, ніж epsilon, то рекурсивно викликаємо функцію на ділянках
 if dmax >= epsilon
  //Recursive call
  recResults1[] = DouglasPeucker(PointList[1...index], epsilon)
  recResults2[] = DouglasPeucker(PointList[index...end], epsilon)
  
  // Будуємо підсумковий набір точок
  ResultList[] = {recResults1[1...end-1] recResults2[1...end]}
 else
  ResultList[] = {PointList[1], PointList[end]}
 end
 
 // Повертаємо результат
 return ResultList[]
end

Псевдокод (ітеративна реалізація)

function DouglasPeucker(PointList[], epsilon)
{
 //  У стек заносимо перший і останній індекси
 stack.push({0, length(PointList) - 1})
 
 //  У масиві за заданим індексом зберігаємо точку (true) або ні (false) 
 keep_point[0...length(PointList) - 1] = true
 
 while(!stack.empty())
 {
   startIndex = stack.top().first
   endIndex = stack.top().second
   stack.pop()
   
   dMax = 0
   index = startIndex
   for(i = startIndex + 1 to endIndex - 1)
   {
      if(keep_point[i])
      {
         d = PerpendicularDistance(PointList[i], Line(PointList[startIndex], PointList[endIndex])) 
         if(d > dMax)
         {
           index = i
           dMax = d
         }
       }
    }
     
    if(dMax >= epsilon)
    {
       stack.push({startIndex, index})
       stack.push({index, endIndex})
    }
    else
    {
       for(j = startIndex + 1 to endIndex - 1)
       {
           keep_point[j] = false
       }
    }
 }
  
 for(i = 0 to (length(PointList) - 1))
 {
    if(keep_point[i])
    {
       ResultList.Add(PointList[i])
    }
 }
  
 return ResultList[]
}

Застосування

Алгоритм застосовується для обробки векторної графіки та при картографічній генералізації.

Крім того, застосовується у робототехніці для обробки результатів роботи кругового лазерного далекоміру і тому також називається алгоритмом розбиття і злиття.

Складність

Очікувана складність алгоритму може бути оцінена виразом $T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(n)$, яка спрощується (як наслідок основної теореми про рекурентні співвідношення) в $T(n)\in \Theta (n\log n)$. Проте в гіршому випадку складність алгоритму $O\left(n^{2}\right)$.

Література

• Urs Ramer, "An iterative procedure for the polygonal approximation of plane curves", Computer Graphics and Image Processing, 1(3), 244–256 (1972) DOI:10.1016/S0146-664X(72)80017-0
• David Douglas & Thomas Peucker, "Algorithms for the reduction of the number of points required to represent a digitized line or its caricature", The Canadian Cartographer 10(2), 112–122 (1973) DOI:10.3138/FM57-6770-U75U-7727
• John Hershberger & Jack Snoeyink, "Speeding Up the Douglas–Peucker Line-Simplification Algorithm", Proc 5th Symp on Data Handling, 134–143 (1992). UBC Tech Report TR-92-07 available at https://web.archive.org/web/20160414023022/http://www.cs.ubc.ca/cgi-bin/tr/1992/TR-92-07
• R.O. Duda and P.E. Hart, "Pattern classification and scene analysis", (1973), Wiley, New York (https://web.archive.org/web/20110715184521/http://rii.ricoh.com/~stork/DHS.html)
• Visvalingam, M., and Whyatt, J.D. "Line Generalisation by Repeated Elimination of the Smallest Area". (1992) CISRG Discussion Paper Series No 10, University of Hull, 16 pp (https://web.archive.org/web/20140210052537/http://www2.dcs.hull.ac.uk/CISRG/publications/DPs/DP10/DP10.html)