Міра Лебега: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
MobyBot (обговорення | внесок) м →Вимірні множини: replaced: одинаков → однаков (2) |
Функція пропозицій посилань: додано 2 посилання. |
||
Рядок 4: | Рядок 4: | ||
=== Зовнішня міра === |
=== Зовнішня міра === |
||
Для довільної підмножини <math>\ E</math> [[числова вісь|числової прямої]] можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості [[інтервал (математика)|інтервалів]], [[об'єднання множин|об'єднання]] яких містить множину <math>\ E</math>. Назвемо такі системи ''[[Відкрите покриття|покриттями]]''. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має [[Інфімум|точну нижню грань]]. Ця грань, залежить тільки від множини <math>\ E</math>, і називається ''зовнішньою мірою'': |
Для довільної підмножини <math>\ E</math> [[числова вісь|числової прямої]] можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи [[Зліченна множина|зліченної]] кількості [[інтервал (математика)|інтервалів]], [[об'єднання множин|об'єднання]] яких містить множину <math>\ E</math>. Назвемо такі системи ''[[Відкрите покриття|покриттями]]''. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має [[Інфімум|точну нижню грань]]. Ця грань, залежить тільки від множини <math>\ E</math>, і називається ''зовнішньою мірою'': |
||
: <math>m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.</math> |
: <math>m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.</math> |
||
Варіанти позначення зовнішньої міри: |
Варіанти позначення зовнішньої міри: |
||
: <math>m^*E=\varphi(E)=|E|^*.</math> |
: <math>m^*E=\varphi(E)=|E|^*.</math> |
||
Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною. |
Очевидно, що [[зовнішня міра]] довільного інтервала збігається з його довжиною. |
||
=== властивості зовнішньої міри === |
=== властивості зовнішньої міри === |
Поточна версія на 07:33, 17 серпня 2022
Міра Лебе́га на — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.
Для довільної підмножини числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину . Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини , і називається зовнішньою мірою:
Варіанти позначення зовнішньої міри:
Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.
- , де — відкрита множина. Дійсно, достатньо як взяти суму інтервалів, що утворюють покриття , таку що . Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.
Якщо множина обмежена, то внутрішньою мірою множини називається різниця між довжиною сегмента , що містить та зовнішньою мірою доповнення в :
Для необмежених множин, визначається як точна верхня грань по всіх відрізках .
Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри однакові. Тоді їх спільне (однакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається чи .
- Множина Віталі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував у 1905 році італійський математик Джузепе Віталі.
Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)