Kütleçekimsel elektromanyetizma

Diagram regarding the confirmation of gravitomagnetism by Gravity Probe B

Kütleçekimsel Elektromanyetizm, kısaltılmışı KEM, elektromanyetizm ve göreli kütleçekimi arasındaki eşitliklerin benzeşiklerinden oluşan bir settir; Özellikle: Maxwell'in alan eşitliği ve yakınsaması ve bazı durumlarda Einstein'ın genel göreliliğindeki alan eşitliklerinden bulunabilir. Kütleçekimsel manyetizm genelde özellikle kütleçekiminin kinetik etkilerini belirtmek için kullanılır, hareketli elektrik yükünün manyetik etkilerinin benzeşiğidir. KEM, yalıtılmış sistemlerden uzakta olduğunda ve yavaş hareket eden deney parçacıklarında daha geçerli ve doğrudur. 1893'te ilk kez genel görelilikten önce, Oliver Heaviside tarafından yayınlandığından beri benzeşiğinde ve eşitliklerinde çok az değişiklik olmuştur.

Arka plan

Gravitomagnetism – Gravitomagnetic field H due to (total) angular momentum J.

Electromagnetism – Magnetic field B due to a dipole moment m...

...or equivalently current I, same field profile, and field generation due to rotation.

Fluid mechanics – Rotational fluid drag of a solid sphere immersed in fluid, analogous directions and senses of rotation as magnetism, analogous interaction to frame dragging for the gravitomagnetic interaction.

Physical analogues of fields

Kütleçekimin yeniden denklendirimlenmesi genel görelilik tarafından, gözlemci çerçevesinde serbest hareket eden eylemsiz cisimlerden farklı olarak tanımlanmıştır. Bu alan elektromanyetizmdeki elektrik ve manyetik alanın birleşimi olarak tarif edilebilir ve benzeşikleri olarak kütleçekimselelektrik ve kütleçekimselmanyetik olarak adlandırılır, çünkü bunlarda hareket eden elektrik yüklerinin sağladığı elektrik ve manyetik alan gibi sağlanır. Dönen büyük cisimin yakınındaki hareket eden cisim ivme kazanacaktır, ancak bu Newton mekaniğinin açıklayabildiği bir ivme değildir. Başka bir değişye, kütleçekimselmanyetik alanın ana sonucu, dönen büyük cismin yakınındaki hareketli cismin bir ivme kazanacağıdır. Daha göze çarpmayan tahminler, düşen cismin uyarılmış dönüşü ve dönen cismin devinmesi gibi daha göze çarpmayan öngörüler genel göreliliğin test edilen en az temel öngörüleridir. Kütleçekimselmanyetik etkinin direkt olmayan doğrulamaları göreli jetlerin nicel çözümlenimi olarak türetilmiştir. Roger Penrose dönen karadelikler için momentum ve enerjinin de olduğu çerçeve-direnç mekanizması önermiştir. Florida Üniversitesinden Reva Kay Williams, Penrose mekanizmasını doğrulayan bir ispat geliştirmiştir. Reva Kay Williams'ın modeli Lense Thirring etkisinin gözlemlenen yüksek enerjiler, kuasarların fosforışısı ve aktif galaktik çekirdeğin kutupsal bir eksende paralelleştirilebileceğini göstermiştir. Bu gözlemlenen özelliklerin hepsi kütleçekimselmanyetik etkinin terimleri olarak açıklanabilir. Williams'ın Penrose mekanizması uygulamaları her boydaki karadeliğe uygulanabilir. Göreli jetler, kütleçekimselmanyetizmin en büyük ve en parlak doğrulaması olarak görülebilir. Stanford Üniversitesi şu anda KEM ile alakalı bilgileri Kütleçekimi Soruşturma B (Gravity Probe B) deneyi ile çalışmalarının kütleçekimselmanyetizm ile tutarlı olup olmadığını tahlil etmektedir. Apaçi Gözlemevi Lunar Lazer tarama operasyonu da kütleçekimselmanyetizm etkilerini gözlemlemeyi planlamaktadır.

Eşitlikler

Genel göreliliğe göre, dönen cisimlerin oluşturduğu kütleçekimsel alan, eşitliklerle birlikte tanımlandığında klasik elektromanyetizm ile aynıdır. Genel göreliliğin temel eşitliği Einstein'ın alan eşitliğinden başlandığında ve zayıf kütleçekimsel alanın düz uzayında kütleçekimsel benzeşikler KEM eşitliklerine türevlenerek Maxwell'in elektromanyetizm eşitlikleri ile SI birimlerinde kıyaslanabilir.

KEM eşitlikleri	Maxwell eşitlikleri
$\nabla \cdot \mathbf {E} _{\text{g}}=-4\pi G\rho _{\text{g}}\$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$
$\nabla \cdot \mathbf {B} _{\text{g}}=0\$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$
$\nabla \times \mathbf {E} _{\text{g}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} _{\text{g}}}{\partial t}}\$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\$
$\nabla \times \mathbf {B} _{\text{g}}=4\left(-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\mathbf {J} _{\text{g}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} _{\text{g}}}{\partial t}}\right)$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

• E_g: durgun kütleçekimsel alandır m⋅s⁻²;
• E: elektrik alan;
• B_g:  kütleçekimsel manyetik alan s⁻¹;
• B: manyetik alan;
• ρ_g:  kütle yoğunluğu kg⋅m⁻³;
• ρ: yük yoğunluğu:
• J_g: kütlenin akım yoğunluğu ya da kütle akısı (J_g = ρ_gv_ρ, burada v_ρ kütleçekimsel manyetik alandaki kütlenin akış hızı) kg⋅m⁻²⋅s⁻¹;
• J: elektrik akım yoğunluğu;
• G: kütleçekimsel sabit m³⋅kg⁻¹⋅s⁻²;
• ε₀ boşluğun elektriksel geçirgenliği;
• c yerçekiminin yayılma hızı (genel görelilikteki ışık hızına eşittir.) in m⋅s⁻¹.

Lorentz kuvveti

Hareketsiz sistemdeki, küçük kütleli, m, parçacığın KEM alanına uyguladığı net (Lorentz) kuvveti Lorentz kuvveti eşitliklerinin KEM eşitliklerine uyarlanmasıyla bulunur.

GEM eşitlikleri	EM eşitlikleri
$\mathbf {F} =m\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {E} _{\text{g}}+\mathbf {v} \times \mathbf {B} _{\text{g}}\right)$	$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

v parçacığın hızı; m parçacığın durgun kütlesi; mγ(v) parçacığın hareket halindeki kütlesi; γ(v) = (1 − v∙v/c2)−1/2 Lorentz faktörü; q parçacığın yükü. Serbest düşen parçacığın ivmesi

$\mathbf {a} =\mathbf {E} _{\text{g}}+\mathbf {v} \times \mathbf {B} _{\text{g}}-{\frac {(\mathbf {E} _{\text{g}}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\,,$

Fazladan gelen terimler γ'nın türevinden bulunabilir.

Alanların ölçeklendirilmesi

Kütleçekimselelektrik ve kütleçekimselmanyetik alanlar henüz tutarlı bir biçimde ölçeklendirilmemiştir. Örneğin, Mashhoon'nun yazılarını ortak bir fikir elde edebilmek için, KEM'deki Bg durumlarının hepsi -1/2c ile çarpılmalı Eg ise -1 ile. Bu faktörler çoğunlukla Lorentz Kuvveti'nin eşitliklerinin benzeşikleridir. KEM ve EM eşitlikleri birbirlerinin benzeşikleridir. Kütleçekimsel kaynaklarda faktörlerde bazı ikinci dereceden enerji-momentum gergisinden kaynaklı çelişkiler doğar. Elektrik yükünün değişmez yükü ve değişmezi olmayan göreli kütlenin farklılığı daha da belirginleşir. Kütleçekimsel alanların spin-2 karakterlerinin kökenine indiğimizde, elektromanyetizmin aksine spin-1 alanı olmaz.

Planck birimleri

G'nin Planck birimlerinde normalleşmesi, c ve 1/(4πε0)’ın 1 olması, dolayısıyla bu sabitleri eşitliğin iki tarafı içinde elememizi sağlar. KEM eşitliklerinin ve Maxwell eşitliklerinin karşılaştırılmasında −1/(4πG)’nin boşluk dielektrik sabitinin (ε0) benzeşiği olduğu açıktır. Eşitliklerin iki seti eksi işaretli 4π için KEM eşitliklerinde de Amper kanunundaki 4 çarpanı için de özdeştir. Eksi işaretleri kütleçekimi ve elektromanyetizm ile elektrostatik yüklerinin özdeş işaretlerine sahip kütlelerin birbirini çekmesi ile oluşan önemli farktan kaynaklanır. Bu yüzden KEM eşitlikleri Maxwell’in kütlenin yükün yerine konmasıyla ve G’nin Colomb kuvvet sabitinin yerini almasıyla oluşan eşitlikleridir. KEM ve Maxwell eşitliklerinin ikisinde de 4π, çünkü Planck birimleri G ve 1/(4πε0)’ı 1’e normalleştirir, 4πG ve 1/ ε0’’a değil.

Yüksek dereceden etkiler

Bazı yüksek dereceden kütleçekimselmanyetik etkiler klasik kutuplanmış (polarize edilmiş) etkileşimlerin tekrar üretilmiş anımsatıcılarıdır. Örneğin, eğer iki teker ortak düzlemde dönerlerse, aralarındaki ortak kütleçekimsel çekim zıt yönlere dönmelerinde oluşacak olan, aynı yönde dönmelerinde oluşacak olandan daha fazladır. Bu durum iten ve çeken kütleçekimsel bileşen olarak ifade edilebilir. Kütleçekimselmanyetik tartışmalar esnek ya da sıvı toroidal kütlelerinin ikincil düzlemde boğazdan geçmesi eğilimi dönel ivme maddenin boğazdan geçmesi eğilimi göstermesini sağlar. Kuramsal olarak, bu düzen ivmelenen cisimlerin g-kuvveti ile karşılaşması olarak anlatılabilir. Dönmesi ikinci dereceden olan bir toroidal kütle ele alalım. Bu özel bir durum ortaya koyar; kütleçekimselmanyetik etkiler cismin etrafında kütleçekimsel bir burgulu bir kütleçekim alanı yaratır. Tepkime kuvvetleri iç ve dış ekvatora sürüklenir, normal yöndeki büyüklük olarak eşit ve zıt olması beklenir ve yön sırasıyla eksi düzleme doğru dönmeye başlar. Her iki dönüşte eşzamanlı olarak uygulandığında, bu iki tepkime kuvvetinin ışınsal Coriolis alanı bu iki tepkime kuvveti ile oluşur denebilir, bu durum yayımlanmasını daha da zorlaştırır. Bu karmaşık davranışı uzay zaman eğrisi olarak modellemek henüz tamamlanmamıştır ve tamamlanılmasının çok zor olduğuna inanılmaktadır.

Astronomik objelerin kütleçekimselmanyetik alanı

Kütleçekimselmanyetik alan '’'B_g denklemi KEM eşitliklerinden türetilebilir:

$\mathbf {B} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} -3(\mathbf {L} \cdot \mathbf {r} /r)\mathbf {r} /r}{r^{3}}},$

L açısal momentumdur. Ekvatora yakın yüzeylerde, r ve  L birbirine diktir, yani sayıl çarpımları sıfırdır ve bu denklem şuna dönüşür:

$\mathbf {B} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} }{r^{3}}},$

Tektürel (Homojen) top şeklindeki cismin açısal momentumu:

$L=I_{\text{ball}}\omega ={\frac {2mr^{2}}{5}}{\frac {2\pi }{T}}$

• $I_{\text{ball}}={\frac {2mr^{2}}{5}}$top şeklindeki cismin eylemsizlik momenti
• w açısal hız;
• m kütle;
• r yarıçap;
• T dönme süresi.

Dünya

Bu yüzden, Dünya'nın ekvatorunun kütleçekimselmanyetik alanının büyüklüğü

$B_{\text{g, Earth}}={\frac {G}{5c^{2}}}{\frac {m}{r}}{\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi rg}{5c^{2}T}},$

burada $g=G{\frac {m}{r^{2}}}$ Dünya'nın kütleçekimidir. Alanın yönü, açısal momentumun yönü ile çakışır. Bu hesaplamadan Dünyanın ekvatoral kütleçekimselmanyetik alanı standart kütleçekiminin, ışık hızına bölünmesiyle 1.012×10−14 Hz,[12] or 3.1×10−7 olarak bulunur. Bu alan oldukça zayıf ve duyarlı ölçülerle saptanabilir. Bunların ölçülmeye çalıştığı deneylerde Kütleçekimi ölçüm ucu B uçuşu olarak bulunur

Pulsar

Eğer önce gelen denklem bilinen ikinci en hızlı dönen pulsar için kullanılırsa,  PSR J1748-2446ad (saniyede 716 kere döner), yarıçap 16 km alınır ve iki Güneş kütlesi kadar kütle vardır, şu denklem elde edilir;

$B_{\text{g}}={\frac {2\pi Gm}{5rc^{2}T}}$

Hemen hemen 166 Hz'e eşittir. Bunu fark etmek kolaydır. Ancak, pulsar ekvatorunda ışık hızının çeyreği hızla döner ve yarıçapı Schwarzchild yarıçapından sadece üç kaç daha büyüktür. Bu kadar hızlı bir hareket ve güçlü kütleçekimsel alanın bir sistemde olması, kütleçekimselmanyetik kuvvetini ve kütleçekimsel elektrik kuvvetini birbirinden sadece kaba bir yaklaşımla ayırabilir.

Sabit nicelik eksikliği

Maxwell'in eşitlikleri Lorentz dönüşümlerinde değişmez değerken, KEM eşitlikleri değildir. ρg ve jg'nun dört vektör formu olmaması gerçeği problemin kaynağıdır. Elektromanyatizmdeki durumun tersine, Lorentz artışı, KEM'i yaklaşık olarak iki farklı referans çerçevesine bağlamış olsa da, tek bir çerçeve için KEM değerlerini hesaplamanın bir yolu yoktur. Aslında, tahminler birbiri ile anlaşmazlığa bile düşebilir. KEM eşitlikleri, değişmez uzaysal dönüşler ve ötelemelerdir, sadece artış halinde değil daha eğrisel dönüşümlerdir. Maxwell'in eşitlikleri koordinat dönüşümlerini değişmez yapacak şekilde denklemleştirilebilir.