Pormula ni Heron

Sa heometriya, ang pormula ni Heron (minsan tinatawag na pormula ni Hero ), na pinangalanan mula kay Heron ng Alehandriya, ay nagbibigay ng kabuuang sukat ng isang tatsulok kapag ang haba ng lahat ng tatlong gilid ay naibigay o napag-alaman na. Hindi tulad ng iba pang mga pormula sa pagkuha ng sukat ng tatsulok, hindi na kailangang unahin ang pagkalkula sa mga anggulo o iba pang mga distansya ng tatsulok.

Pagkabuo

Ang pormula ni Heron ay nagsasaad na ang sukat ng isang tatsulok na may mga gilid na may habang $a$ , $b$ , at $c$ ay

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},

kung saan ang $s$ ay ang semi-perimetro ng tatsulok; at iyan ay,

s={\frac {a+b+c}{2}}.

Ang pormula ni Heron ay maaari ring isulat bilang

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.

Halimbawa

Ang tatsulok na $△ ABC$ ay may mga gilid na $a = 4$ , $b = 13$ at $c = 15$ . Ang semi-perimtero ng tatsulok na ito ay

$s = 1 / 2 (a + b + c) = 1 / 2 (4 + 13 + 15) = 16$ , at ang kabuuang sukat ay

{\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}

Sa halimbawang ito, ang haba ng gilid at ng kabuuang sukat ay mga integer, na maituturing bilang isang triyanggulong Heroniano . Gayunpaman, ang pormula ni Heron ay gumagana pa rin sa mga kaso kung saan ang isa o lahat ng mga bilang ng gilid nito ay hindi isang integer.

Kasaysayan

Ang pormula ay kinikilalang gawa ni Heron (o Hero) ng Alehandriya, at isang katibayan ang matatagpuan sa kanyang aklat na Metrica, naisulat noong c. CE 60. Iminungkahi na alam daw ni Archimedes ang pormula noong dalawang siglo nang mas maaga pa, at dahil ang Metrica ay isang koleksyon ng mga kaalaman sa matematika na ginagamit sa sinaunang mundo, posible na mas nauna sa pormula ang sanggunian na ibinigay sa gawaing iyon.

Isang pormula na katumbas kay Heron, na naiulat bilang

A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}

ang natuklasan ng mga Tsino nang mag-isa at hiwalay ^{[kailangan ng sanggunian]} mula sa mga Griyego. Ito ay nailathala sa Matematikong Kasulatan sa Siyam na mga Bahagi ( Qin Jiushao, 1247).

Mga Patunay

Ang orihinal na patunay ni Heron ay gumagamit ng kuwadrelatirong sikliko .^{[kailangan ng sanggunian]} Ang iba naman ay nakaayon sa trigonometriya tulad ng mga nasa ibaba, o sa teorama ni De Gua (para sa mga partikular na kaso ng mga maliliit na anggulo ng tatsulok).

Trigonometrikong patunay gamit ang batas ng mga cosine

Ito ay isang modernong patunay, na gumagamit ng alhebra at mapapansing medyo naiiba mula sa patunay na ibinigay ni Heron (sa kanyang aklat na Metrica). Hayaan ang $a$ , $b$ , $c$ na mga gilid ng tatsulok at $α$ , $β$ , $γ$ ang mga anggulo sa tapat ng mga gilid na iyon. Sa paggamit ng batas ng mga cosine, makukuha natin

\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

Mula sa patunay na ito, makukuha natin ang alhebrehikong tumbasan na

\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.

Ang taas ng tatsulok mula sa pinakamababang gilid o base ( $a$ ) ay may haba na $b sin γ$ , at sa pamamagitan ng pagpapaikli at pagbabawas, makukuha natin ito

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}

Alherbrehikong patunay gamit ang teorama ni Pitagoras

Ang sumusunod na patunay ay halos kapareho sa ibinigay ni Raifaizen. Sa pamamagitan ng teorema ni Pitagoras, matutumbas ito bilang $b 2 = h 2 + d 2$ at $a 2 = h 2 + (c - d) 2$ ayon sa larawan sa kanan. Sa pagbabawas ng mga ito, magiging $a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd$ . Maaari nating makuha ang haba ng $d$ ayon sa mga gilid ng tatsulok:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

Para sa taas ng tatsulok, makukuha natin ang tumbasang ito: $h 2 = b 2 - d 2$ . Sa pamamagitan ng pagpapalit ng $d$ sa pormulang ibinigay sa itaas at paggamit ng pagkakaiba ng mga parisukat, makukuha natin

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}

Ilalapat natin ngayon ang mga resultang ito sa pormula ng pagkalkula ng kabuuang sukat ng tatsulok mula sa haba ng taas nito:

{\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}

Trigonometrikong patunay na gumagamit ng mga batas ng cotangent

Kahalagahan ng mga heometrikong gilid ng $s - a$ , $s - b$ , at $s - c$ . Tingnan ang Batas ng mga cotangent para sa pangangatuwiran nito.

Mula sa unang bahagi ng patunay ng Batas ng mga cotangent , ^[1] mayroon tayong kabuuang sukat ng tatsulok na katumbas sa mga ekwasyong

{\begin{aligned}A&=r{\big (}(s-a)+(s-b)+(s-c){\big )}=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\\end{aligned}}

at $A = rs$ , pero, dahil ang kabuuan ng mga kalahating anggulo ay $π$ /2, magagamit natin ideya ng cotangent na magiging

{\begin{aligned}A&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\\\end{aligned}}

Sa pagsasama ng dalawang ekwasyon na ito, makukuha natin

A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)

kung saan nakaayon ito sa resultang nagpapatunay sa pormula ni Heron.

Mga kahawig ng pormula ni Heron

Tatlong iba pang mga pormula sa pagkuha ng sukat ng tatsulok ang may parehong istraktura sa pormula ni Heron ngunit iba't ibang mga baryable naman ang ginamit.

Una, tinutukoy ang mga median mula sa mga gilid $a$ , $b$ , at $c$ ayon sa pagkakabanggit nang magkakasunod-sunod bilang $m a$ , $m b$ , at $m c$ at kanilang semi-kabuuan na $1 / 2 (m a + m b + m c)$ bilang $σ$ , makukuha natin ^[2]

A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.

Ang sunod naman ay nagsasaad ng mga altitud mula sa mga gilid na $a$ , $b$ , at $c$ ayon sa pagkakabanggit nang magkakasunod-sunod bilang $h a$ , $h b$ , at $h c$ , at nagsasaad ng semi-kabuuan ng kabaligtaran ng mga altitud bilang $H = 1 / 2 (h -1 a + h -1 b + h -1 c)$ , makukuha natin ^[3]

A^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.

Sa huli, tumutukoy naman sa semi-kabuuan ng mga sine ng mga anggulo bilang $S = 1 / 2 (sin α + sin β + sin γ)$ , makukuha natin ^[4]

A=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}

kung saan ang $D$ ay ang lapad o diyametro ng sirkulo: $D = a / sin α = b / sin β = c / sin γ$ .

Mga ugnayan

Ang pormula ni Heron ay isang espesyal na kaso ng pormula ni Brahmagupta para sa pagkuha ng kabuuang sukat ng isang siklikong kuwadrelitiko . Ang pormula ni Heron at ang pormula ni Brahmagupta ay kapwa mga espesyal na kaso ng pormula ni Bretschneider para sa pagkuha ng kabuuang sukat ng isang kuwadrilateral . Ang pormula ni Heron ay maaaring makuha mula sa pormula ni Brahmagupta o pormula ni Bretschneider sa pamamagitan ng pagtatakda ng isa sa mga gilid ng kuwadrilateral bilang sero.

Ang pormula ni Heron ay isang espesyal na kaso din ng pormula para sa pagkuha ng kabuuang sukat ng isang trapezoid o trapezium batay lamang sa mga gilid nito. Ang pormula ni Heron ay makukuha sa pamamagitan ng pagtatakda sa mas maliit na paralelong gilid nito bilang sero.

Pormula na mala-anyong Heron para sa pagkuha ng bolyum ng isang tetrahedron

Kung ang $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ , $w$ ay haba ng mga gilid ng isang tetrahedron (ang unang tatlo ay bumubuo ng isang tatsulok; ang $u$ ay ang katapat ng $U$ at ganoon rin para sa iba), makukuha natin ang pormulang ^[5]

{\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}

kung saan

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}

Tingnan din

Mga Sanggunian

↑ The second part of the Law of cotangents proof depends on Heron's formula itself, but this article depends only on the first part.
↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
↑ W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.

Mga kawingang panlabas

(Lahat ay nasa Ingles)

[1] The second part of the Law of cotangents proof depends on Heron's formula itself, but this article depends only on the first part.

[2] Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.

[3] Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.

[4] Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.

[5] W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]