ยูเนียน
ยูเนียน (อังกฤษ: union) หรือ ส่วนรวม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการรวมสมาชิกทั้งหมดของเซตต้นแบบเข้าด้วยกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∪ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U)
นิยาม
[แก้]สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ
หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น
ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้
สมบัติ
[แก้]ยูเนียนมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้
- ยูเนียนมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการยูเนียนเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
- ยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
- สมาชิกเอกลักษณ์ของการยูเนียนคือเซตว่าง
- เซตใดๆ ที่ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์ จะได้เอกภพสัมพัทธ์
- ยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
- ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
รูปแบบ
[แก้]ยูเนียนจำกัด
[แก้]โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถดำเนินการยูเนียนบนเซตหลายเซตได้พร้อมกัน เช่นการยูเนียนของเซต A, B, และ C จะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A, สมาชิกทั้งหมดของ B, และสมาชิกทั้งหมดของ C โดยไม่มีสมาชิกอื่นที่นอกเหนือจากนี้ นั่นหมายความว่า x จะเป็นสมาชิกของเซต A ∪ B ∪ C ก็ต่อเมื่อ x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B หรือ x เป็นสมาชิกของ C
เนื่องด้วยยูเนียนมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งไม่สำคัญว่าจะดำเนินการยูเนียนในลำดับใดก่อน ยูเนียนจำกัด จึงหมายถึงการดำเนินการยูเนียนเป็นจำนวนจำกัดของเซตกลุ่มหนึ่ง มิได้หมายความว่าเป็นการยูเนียนของเซตจำกัด
ยูเนียนไม่จำกัด
[แก้]อีกแนวคิดหนึ่งคือการยูเนียนเกี่ยวข้องกับกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) x จะเป็นสมาชิกของการยูเนียนของ M ก็ต่อเมื่อ มีเซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M อย่างน้อยหนึ่งตัว และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย หรือ ดังนี้
การยูเนียนของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด
สัญกรณ์ หมายถึงการยูเนียนของกลุ่มเซต Ai ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ ยูเนียนไม่จำกัด (หรือยูเนียนอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้
อินเตอร์เซกชันสามารถแจกแจงได้บนยูเนียนไม่จำกัด
และยูเนียนไม่จำกัดสามารถผสานเข้ากับอินเตอร์เซกชันไม่จำกัด จนเกิดเป็นกฎนี้ขึ้นมา
อ้างอิง
[แก้]- วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9
ดูเพิ่ม
[แก้]แหล่งข้อมูลอื่น
[แก้]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.