2025年03月23日
２０２５早大・商（第１問の４）
こんにちは。
引き続き、早大商学部。
今日は(4)です。
難問だ。正9角形が馴染みが無い。６０°の角度がどうやって作られるか？
ここをまず調べるしかないですね。
円を描いて、円周角を考えるといいです。
図のような赤、青、緑の線をひくと、正三角形ができます。
あとはこれらの直線を平行移動しても同じ６０°の角ができる。
こんな感じで数えていきます。
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引き続き、早大商学部。
今日は(4)です。
難問だ。正9角形が馴染みが無い。６０°の角度がどうやって作られるか？
ここをまず調べるしかないですね。
円を描いて、円周角を考えるといいです。
図のような赤、青、緑の線をひくと、正三角形ができます。
あとはこれらの直線を平行移動しても同じ６０°の角ができる。
こんな感じで数えていきます。
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2025年03月22日
２０２５早大・商（第１問の３）
こんにちは。
天気の良い土曜日。
久々のオフだ。
休日引き続き、早大商学部。
今日は(3)です。
「等式を満たす」ということは、等式がxについての恒等式になるということです。
なのでm、nは任意でなく何か特定の数になるはずで、そこで両辺の次数を調べれば
m、nの条件が出て、値が決まるかな・・？
と、考えるところです。
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天気の良い土曜日。
久々のオフだ。
休日引き続き、早大商学部。
今日は(3)です。
「等式を満たす」ということは、等式がxについての恒等式になるということです。
なのでm、nは任意でなく何か特定の数になるはずで、そこで両辺の次数を調べれば
m、nの条件が出て、値が決まるかな・・？
と、考えるところです。
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2025年03月22日
２０２５早大・商（第１問の２）
こんにちは。
引き続き、早大商学部。
今日は(2)のみです。
３項間漸化式で、よくある形なのでそれほど難でない。
しかしa2でなくa2025が０というのが作為的ですな。
これ、０にしてくれているので案外ラクに解けます。
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引き続き、早大商学部。
今日は(2)のみです。
３項間漸化式で、よくある形なのでそれほど難でない。
しかしa2でなくa2025が０というのが作為的ですな。
これ、０にしてくれているので案外ラクに解けます。
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2025年03月20日
２０２５早大・商（第１問の１）
こんにちは。
もう３月か、早いですね。
いろんな入試が終わった、こういうとき仕事がカブるもので、
この時期は休みが無い。
行き付けの店にて。社長なので会社の経費で飲む。
これだけですな、社長やってて良いなと思うことは・・。
早稲田の商学部。
文系なのに数学が難しく、６０点満点で平均が１０点そこそこらしい。
どんな問が出てるのか見てみたら、なかなかだった。
面白いので解いてみますか。
大問１は小問集合４問だけど、どれも簡単でない。
今日は(1)のみです。
だいたい２つ式があるときはyを消してxの方程式を作るのだけど、
直接図を描くと、こうなるかな。
この図以外に共有点が２個になる場合が無いことを示す必要があるけど、
まあ細かいことは置いといて、式はこうなる。
この連立方程式を解けば一応答えは出るけど、あまりうまい解き方でない。
解答は、yを消す方法で。
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もう３月か、早いですね。
いろんな入試が終わった、こういうとき仕事がカブるもので、
この時期は休みが無い。
行き付けの店にて。社長なので会社の経費で飲む。
これだけですな、社長やってて良いなと思うことは・・。
早稲田の商学部。
文系なのに数学が難しく、６０点満点で平均が１０点そこそこらしい。
どんな問が出てるのか見てみたら、なかなかだった。
面白いので解いてみますか。
大問１は小問集合４問だけど、どれも簡単でない。
今日は(1)のみです。
だいたい２つ式があるときはyを消してxの方程式を作るのだけど、
直接図を描くと、こうなるかな。
この図以外に共有点が２個になる場合が無いことを示す必要があるけど、
まあ細かいことは置いといて、式はこうなる。
この連立方程式を解けば一応答えは出るけど、あまりうまい解き方でない。
解答は、yを消す方法で。
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2025年03月03日
２０２５東大・文系（第４問）
こんにちは。
引き続き東大文系。
最終の第４問は、面積の問題。
見た感じ対して難しくなさそうで、実際にそれほど難ではない。
しかし場合分けが多く、いちいち全部面積を求めていくと大変すぎる。
aを正として徐々に大きくしていくと、
面積は小さくなっていくことがわかる。
aが負のときは絶対値のグラフが折り返されるのでややこしい。
－2から徐々に大きくしていくと、
x軸との交点が±１の外にあれば、面積が大きくなっていくことがわかる。
これらを排除すれば、あとは－1≦a≦0のときを調べるだけでよくなる。
なかなか面倒な問だ。
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引き続き東大文系。
最終の第４問は、面積の問題。
見た感じ対して難しくなさそうで、実際にそれほど難ではない。
しかし場合分けが多く、いちいち全部面積を求めていくと大変すぎる。
aを正として徐々に大きくしていくと、
面積は小さくなっていくことがわかる。
aが負のときは絶対値のグラフが折り返されるのでややこしい。
－2から徐々に大きくしていくと、
x軸との交点が±１の外にあれば、面積が大きくなっていくことがわかる。
これらを排除すれば、あとは－1≦a≦0のときを調べるだけでよくなる。
なかなか面倒な問だ。
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2025年02月27日
２０２５東大・文系（第３問）
こんにちは。
引き続き東大文系。
第３問は確率の問題。これが一番難だった。
(2)は漸化式を作るタイプの問だろうと予測できるが、
どうやって式を立てればよいか？ここが相当ムズい。
右から1番目と2番目の2個の玉のパターンはこの４つで、
アの確率pnとイの確率qnの和が(2)の答えになる。なので、
まずはpnとqnの関係式を作ろうかと考えるのが手順ですね。
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引き続き東大文系。
第３問は確率の問題。これが一番難だった。
(2)は漸化式を作るタイプの問だろうと予測できるが、
どうやって式を立てればよいか？ここが相当ムズい。
右から1番目と2番目の2個の玉のパターンはこの４つで、
アの確率pnとイの確率qnの和が(2)の答えになる。なので、
まずはpnとqnの関係式を作ろうかと考えるのが手順ですね。
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2025年02月27日
２０２５東大・文系（第２問）
こんにちは。
国立大の２次試験、昨日から始まりました。
引き続き東大文系、ゆうべ一応全部解けたけど、
やっぱどれも簡単でないですね。
第２問は図形の問題。
まずM、Nを中点、Oを外心として、小さめの円を描いてみる。
左図は、辺ABとACの一部がDrに含まれていない。
右図は、３辺がみなDrに含まれているが、Oの周りが含まれていない。
中点や外心を取ることに気付けるかどうか。
あと、鈍角三角形のときは外心が外に出るので解が違う。
なかなか面倒な問題だ・・。
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国立大の２次試験、昨日から始まりました。
引き続き東大文系、ゆうべ一応全部解けたけど、
やっぱどれも簡単でないですね。
第２問は図形の問題。
まずM、Nを中点、Oを外心として、小さめの円を描いてみる。
左図は、辺ABとACの一部がDrに含まれていない。
右図は、３辺がみなDrに含まれているが、Oの周りが含まれていない。
中点や外心を取ることに気付けるかどうか。
あと、鈍角三角形のときは外心が外に出るので解が違う。
なかなか面倒な問題だ・・。
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2025年02月25日
２０２５東大・文系（第１問）
こんにちは。
国立大の２次試験、本日から始まりました。
私はもう塾の先生でないので、受験生の心配は無い。
なので、のんびり解いていこうかと思います。
今年の東大。文系の方です。
(2)のほう、図をかくとこんな感じです。
これ、PからQ、QからRと同じことをしているので、
b＝(aの式)
を作ったら、c＝(bの式)も同じ形になります。
これに気づけると二度手間が防げる。
しかし対象となるものが分数関数なので、どう処理するのか？
ここがややムズいです。
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国立大の２次試験、本日から始まりました。
私はもう塾の先生でないので、受験生の心配は無い。
なので、のんびり解いていこうかと思います。
今年の東大。文系の方です。
(2)のほう、図をかくとこんな感じです。
これ、PからQ、QからRと同じことをしているので、
b＝(aの式)
を作ったら、c＝(bの式)も同じ形になります。
これに気づけると二度手間が防げる。
しかし対象となるものが分数関数なので、どう処理するのか？
ここがややムズいです。
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2025年01月29日
２０２５日本数学オリンピック予選（問題５）
こんにちは。
行き付けの店に。
ボトルをキープして飲む。
こういうの若い頃は無かったな、金なかったし・・。
受験のシーズン。
そろそろ私の会社も忙しくなり、酒飲む時間も無くなりそうだ。
JMOの続きです。
図が入り組んでいて複雑ですな。どうすれば解けるのか？その発見が難しい。
形からして「メネラウスの定理」かな？と思ったが、求める比の形はその定理には出てこない。
でもひとまずは、BCとCDを文字で置いて、他の線分をその文字で表すことを考えます。
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行き付けの店に。
ボトルをキープして飲む。
こういうの若い頃は無かったな、金なかったし・・。
受験のシーズン。
そろそろ私の会社も忙しくなり、酒飲む時間も無くなりそうだ。
JMOの続きです。
図が入り組んでいて複雑ですな。どうすれば解けるのか？その発見が難しい。
形からして「メネラウスの定理」かな？と思ったが、求める比の形はその定理には出てこない。
でもひとまずは、BCとCDを文字で置いて、他の線分をその文字で表すことを考えます。
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2025年01月19日
２０２５日本数学オリンピック予選（問題４）
こんにちは。
大学入学共通テスト、終わったようですね。
数１A、数２Bともやや易化とのこと。
どこかにUPされ次第、解いていくことにします。
ＪＭＯの続き。
例えば、５８と言う数。
５８÷２＝２９あまり０
５８÷３＝１９あまり１
５８÷４＝１４あまり２
５８÷５＝１１あまり３
５８÷６＝９ あまり４
となって、条件を満たします。
余りの方を先に決めて、それに見合うNを探す方法がよいです。
例えば５８に２を足せば、２、３、４、５、６のどれでも割り切れる。
こういう都合のよい数を見つけると早いです。
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大学入学共通テスト、終わったようですね。
数１A、数２Bともやや易化とのこと。
どこかにUPされ次第、解いていくことにします。
ＪＭＯの続き。
例えば、５８と言う数。
５８÷２＝２９あまり０
５８÷３＝１９あまり１
５８÷４＝１４あまり２
５８÷５＝１１あまり３
５８÷６＝９ あまり４
となって、条件を満たします。
余りの方を先に決めて、それに見合うNを探す方法がよいです。
例えば５８に２を足せば、２、３、４、５、６のどれでも割り切れる。
こういう都合のよい数を見つけると早いです。
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2025年01月18日
２０２５日本数学オリンピック予選（問題３）
こんにちは。
引き続きJMO予選。
１０×１０のマス目
これに、次のピースを置くという問題。
パズルのようにいろんな並べ方がありそうで大変だな・・
と思ったが、どうも規則性があって割と簡単だった。
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引き続きJMO予選。
１０×１０のマス目
これに、次のピースを置くという問題。
パズルのようにいろんな並べ方がありそうで大変だな・・
と思ったが、どうも規則性があって割と簡単だった。
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2025年01月17日
２０２５日本数学オリンピック予選（問題１・２）
こんにちは。
明日から大学入学共通テストですね。
今年から数１Aの範囲が変わって、整数論の分野が消え、
確率、幾何が必須となってしまった。
幾何は勉強しにくい分野だし、点が取りにくい感じあるかな。
変わって、先週行われたJMO予選。
毎年解ける問だけ解いているけど、毎年沼にハマって、
仕事がおろそかになる。今日もそうだった。
全１２問の中では易しいのだけど、どちらも数え上げなので、漏れが怖いです。
第１問では真ん中の数を先に決めるよりも、
「７」がどこに来るか？７と隣り合う数がどう入るか？を考える方がラクかな。
第２問は２０２５が平方数なので、２数の積が平方数になる条件を考えます。
続きを読む
明日から大学入学共通テストですね。
今年から数１Aの範囲が変わって、整数論の分野が消え、
確率、幾何が必須となってしまった。
幾何は勉強しにくい分野だし、点が取りにくい感じあるかな。
変わって、先週行われたJMO予選。
毎年解ける問だけ解いているけど、毎年沼にハマって、
仕事がおろそかになる。今日もそうだった。
全１２問の中では易しいのだけど、どちらも数え上げなので、漏れが怖いです。
第１問では真ん中の数を先に決めるよりも、
「７」がどこに来るか？７と隣り合う数がどう入るか？を考える方がラクかな。
第２問は２０２５が平方数なので、２数の積が平方数になる条件を考えます。
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2025年01月12日
２０２５共通テスト試作問題(数２BC)
こんにちは。
あと１週間ですね、共通テストが。
試作問題。こちら。
数２BCの第７問、これは数Cの問です。
２次曲線はaとbの符号で形が決まる。それを知っていれば易しい。
続いて、〔２〕です。
この問の図１と図２は、問題を解くのに全く必要としない。
こういう不要な情報をあえて入れてくるのも共通テストの特徴の１つかと思う。
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あと１週間ですね、共通テストが。
試作問題。こちら。
数２BCの第７問、これは数Cの問です。
２次曲線はaとbの符号で形が決まる。それを知っていれば易しい。
続いて、〔２〕です。
この問の図１と図２は、問題を解くのに全く必要としない。
こういう不要な情報をあえて入れてくるのも共通テストの特徴の１つかと思う。
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2025年01月11日
２０２５共通テスト試作問題(数１A)
こんにちは。
あと１週間ですね、共通テストが。
この試験の数学なのだけど、毎回解くたびに腹が立ってしまう。
文章がえらく長く、それが物語になっていて読解に苦労すること。
考え方を指定してそれに乗る必要があり、自由に発想できないこと。
答えが選択肢になるケースがあり、これを選ぶのがめんどいこと。
など。こういうことを分かったうえで根気よくしかもスピーディに
解く必要がありますね。もっとシンプルにできないものか・・？
数学の能力以外のとこで差がついてしまうのではと毎回思う。
試験問題はこういう感じになりますよ、というものがUPされていたので、
解いてみますか。こちら。
数１Aの第４問で、確率の問です。
ここまでは２０２１年の共通テスト１A第３問とほぼ同じです。
全４ページ。うんざりですな・・。
後半は文章量が多い割に設問が少ない。途中の会話文は、問題を解くうえで
ヒントになっているので読み飛ばさないほうがいい。
スセ以降が難しい。
一見、XとYのどちらを取っても期待値は変わらないように見えるけど、
太郎の試行で結果が１つ出ているので、それが花子の選択に影響しているというのが、
この問題の主旨となっている。厄介だ・・。
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あと１週間ですね、共通テストが。
この試験の数学なのだけど、毎回解くたびに腹が立ってしまう。
文章がえらく長く、それが物語になっていて読解に苦労すること。
考え方を指定してそれに乗る必要があり、自由に発想できないこと。
答えが選択肢になるケースがあり、これを選ぶのがめんどいこと。
など。こういうことを分かったうえで根気よくしかもスピーディに
解く必要がありますね。もっとシンプルにできないものか・・？
数学の能力以外のとこで差がついてしまうのではと毎回思う。
試験問題はこういう感じになりますよ、というものがUPされていたので、
解いてみますか。こちら。
数１Aの第４問で、確率の問です。
ここまでは２０２１年の共通テスト１A第３問とほぼ同じです。
全４ページ。うんざりですな・・。
後半は文章量が多い割に設問が少ない。途中の会話文は、問題を解くうえで
ヒントになっているので読み飛ばさないほうがいい。
スセ以降が難しい。
一見、XとYのどちらを取っても期待値は変わらないように見えるけど、
太郎の試行で結果が１つ出ているので、それが花子の選択に影響しているというのが、
この問題の主旨となっている。厄介だ・・。
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2025年01月02日
２０２５年元旦
令和７年。
明けましたね。
元旦の初詣は、毎年恒例の市内、元善光寺というお寺で、
そしていつもの絵馬です。
数学の問を神社に奉納していたという昔の文献を見て、それを真似した。
もうかれこれ２０年近くやっていると思う。
自己満足なものですな。でも、これを見て数学に興味を持ってくれる学生が
いてくれると嬉しく思う。
続きを読む
明けましたね。
元旦の初詣は、毎年恒例の市内、元善光寺というお寺で、
そしていつもの絵馬です。
数学の問を神社に奉納していたという昔の文献を見て、それを真似した。
もうかれこれ２０年近くやっていると思う。
自己満足なものですな。でも、これを見て数学に興味を持ってくれる学生が
いてくれると嬉しく思う。
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2024年10月14日
豊作だった。
こんにちは。
３連休、実家の長野にいた。
田舎の良い点は、静かなこと。空気がうまいこと。
都会とは全然違うなと、感じた。
収穫前の実った穂を見て、こんな問を考えた。
全体を１とすれば、各自もらえる量がそれぞれ計算できるので、
それを比較すればOKです。
長男＝0.1
次男＝0.9×0.2＝0.18
三男＝(1－0.28)×0.3＝0.216
・・・・・・・・・
しかしこういう方法でなく、漸化式っぽい解法を考えてみてください。
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３連休、実家の長野にいた。
田舎の良い点は、静かなこと。空気がうまいこと。
都会とは全然違うなと、感じた。
収穫前の実った穂を見て、こんな問を考えた。
全体を１とすれば、各自もらえる量がそれぞれ計算できるので、
それを比較すればOKです。
長男＝0.1
次男＝0.9×0.2＝0.18
三男＝(1－0.28)×0.3＝0.216
・・・・・・・・・
しかしこういう方法でなく、漸化式っぽい解法を考えてみてください。
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2024年10月04日
組合せnCrの公式。
こんにちは。
残業中。ふう・・ひと息です。
このところやっと涼しくなってきた感。
東京の夏は暑いな。人込みと暑さ。これが困る・・
それ以外は便利で住みやすいのだけど。
数学の話。
期待値を計算していたらこういう式が出てきた。
これ、計算できるのだろうか？１０個の項をそれぞれ書いて
計算するのでなく、1つのCの式にしたい。
k倍が邪魔なので、これを無くしてΣnCrという形にするというテクを使う。
組合せnCrの公式というと、次の(1)(2)は有名で、(3)は見かけないけど、
この(3)を使うとうまく行きます。
答 10×20C11
左辺か右辺を変形していけば証明できるけど、そうでなく、組合せの総数を
考えることで示せないか？それを考えてみました。
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残業中。ふう・・ひと息です。
このところやっと涼しくなってきた感。
東京の夏は暑いな。人込みと暑さ。これが困る・・
それ以外は便利で住みやすいのだけど。
数学の話。
期待値を計算していたらこういう式が出てきた。
これ、計算できるのだろうか？１０個の項をそれぞれ書いて
計算するのでなく、1つのCの式にしたい。
k倍が邪魔なので、これを無くしてΣnCrという形にするというテクを使う。
組合せnCrの公式というと、次の(1)(2)は有名で、(3)は見かけないけど、
この(3)を使うとうまく行きます。
答 10×20C11
左辺か右辺を変形していけば証明できるけど、そうでなく、組合せの総数を
考えることで示せないか？それを考えてみました。
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2024年09月21日
玉を取り出す確率。
こんにちは。
会社によくセールスが来るのだけど、
「珈琲の機械を置きませんか？」
という人が来た。
私は珈琲バカ。一日に何杯も飲むのだけど、
「ネルドリップが一番うまい」
と言ったら、その人ネルドリップを知らないと言う。
こういうやつです。知っててほしかったな。
今日は条件付き確率の問を１つ。
最近you tubeで観た問なのだけど、それは合計が１０でなく文字のNだった。
その動画の解き方が何だかよくわからなかったな・・。
直感だと、次の３通りがありますね。
１）何回取り出しても五分五分なので、答えは５０％
２）１回目が赤だから、赤が有利。答えは５０％よりやや高い。
３）１回目が赤だから、赤が１個減って白が有利。答えは５０％よりやや低い。
どれだと思います？
こういう直感も案外大事なことかと思う。
ではどう解くか？条件付き確率なので、教科書通りの設定です。
A：箱から1個取り出したらそれが赤玉である
B：箱から2個目を取り出したらそれが赤玉である
すると、こういう式になる。
２つのうちやりやすい方を使えばいいけど、（ア）で行けるならそれがいいです。
これ、初期設定がわからないのでAもBも何通りか困ってしまいますね。
問の最後に書いた但し書きに合わせて１１パターン全部を考えることになります。
続きを読む
会社によくセールスが来るのだけど、
「珈琲の機械を置きませんか？」
という人が来た。
私は珈琲バカ。一日に何杯も飲むのだけど、
「ネルドリップが一番うまい」
と言ったら、その人ネルドリップを知らないと言う。
こういうやつです。知っててほしかったな。
今日は条件付き確率の問を１つ。
最近you tubeで観た問なのだけど、それは合計が１０でなく文字のNだった。
その動画の解き方が何だかよくわからなかったな・・。
直感だと、次の３通りがありますね。
１）何回取り出しても五分五分なので、答えは５０％
２）１回目が赤だから、赤が有利。答えは５０％よりやや高い。
３）１回目が赤だから、赤が１個減って白が有利。答えは５０％よりやや低い。
どれだと思います？
こういう直感も案外大事なことかと思う。
ではどう解くか？条件付き確率なので、教科書通りの設定です。
A：箱から1個取り出したらそれが赤玉である
B：箱から2個目を取り出したらそれが赤玉である
すると、こういう式になる。
２つのうちやりやすい方を使えばいいけど、（ア）で行けるならそれがいいです。
これ、初期設定がわからないのでAもBも何通りか困ってしまいますね。
問の最後に書いた但し書きに合わせて１１パターン全部を考えることになります。
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2024年09月16日
待ち合わせ場所の指定。
こんにちは。
月イチの練習会の日。
ピアノとシンセが私、メンバーはギターとドラムの
ジャズトリオとなってます、一応。
ピアノはずっと独学で、通信教育とか受けたけど続かなかった。
やっぱ、なかなか上達しないな。数学と同じで・・。
東京、神奈川、茨城から、それぞれ３人が千葉のスタジオに集まる。
帰り道、こんな問を考えてました。
３軒の家は皆異なり、場所は定まっているけど、どのような配置かわからない。
しかし、家の配置や距離などに関係なく、答えは１つに決まります。
続きを読む
月イチの練習会の日。
ピアノとシンセが私、メンバーはギターとドラムの
ジャズトリオとなってます、一応。
ピアノはずっと独学で、通信教育とか受けたけど続かなかった。
やっぱ、なかなか上達しないな。数学と同じで・・。
東京、神奈川、茨城から、それぞれ３人が千葉のスタジオに集まる。
帰り道、こんな問を考えてました。
３軒の家は皆異なり、場所は定まっているけど、どのような配置かわからない。
しかし、家の配置や距離などに関係なく、答えは１つに決まります。
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2024年09月11日
２０２４東京都教員教員採用試験(その２)
こんにちは。
９月半ば、まだ暑いですね。
友人が、借りていたカネ返すよと。
１００万円になってる！
そういえば新札。１万円と千円は手に入ったけど、
五千円がなかなか回ってこないですね。まぁいいです。
東京都教員教員採用試験。こちら。
第３問です。
陰関数というもので、yについて解けば問２も問３も定積分の式が作れる。
なので、そう難しくないです。
続きを読む
９月半ば、まだ暑いですね。
友人が、借りていたカネ返すよと。
１００万円になってる！
そういえば新札。１万円と千円は手に入ったけど、
五千円がなかなか回ってこないですね。まぁいいです。
東京都教員教員採用試験。こちら。
第３問です。
陰関数というもので、yについて解けば問２も問３も定積分の式が作れる。
なので、そう難しくないです。
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