நேர்கோட்டமைவு

வடிவவியலில், புள்ளிகளின் நேர்கோட்டமைவு (collinearity) அல்லது நேர்கோட்டிலமைதல் என்பது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட புள்ளிகளெல்லாம் ஒரே கோட்டின்மீது அமைவதைக் குறிக்கும்.^[1] ஒரே கோட்டின்மீது அமையும் புள்ளிகள், "ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள்" (collinear points) என அழைக்கப்படும்.^[2]).

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் எடுத்துக்காட்டுகள்

முக்கோணங்கள்

எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் பின்வரும் புள்ளிகள் ஒரே கோட்டிலமைபவை:

செங்கோட்டு மையம், சுற்றுவட்ட மையம், திணிவு மையம், ஒன்பது-புள்ளி வட்ட மையம் ஆகியவை நேர்கோட்டிலமைபவை. அவை ஆய்லரின் கோட்டின் மீதமையும்.
முக்கோணத்தின் ஏதாவதொரு உச்சி, அந்த உச்சியின் எதிர்பக்கம் வெளிவட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி, நாகெல் புள்ளி மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமையும். அக்கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பிளப்பியாக இருக்கும்.
முக்கோணத்தின் ஏதாவதொரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளி, அதிலிருந்து இருதிசைகளிலும் முக்கோணத்தின் வரம்பின்மீது சமதூரத்திலமையும் புள்ளி, ஸ்பைக்கர் வட்டமையம் ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் வெட்டி என அழைக்கபடும் கோட்டின் மீதமைகின்றன.
முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி, அவ்வுச்சியின் எதிர்பக்கம் உள்வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி, கெர்கோன் புள்ளி மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமையும்.
முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதாவதொரு புள்ளியிலிருந்து, முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீட்டிப்புகளின் மீது மிக அருகாமையிலுள்ள மூன்று புள்ளிகளும் நேர்கோட்டிலமைபவை. அக்கோடு, அந்த சுற்றுவட்டப்புள்ளியின் சிம்சன் கோடு ஆகும்.
முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளின் அடிகளை இணைக்கும் கோடுகள் முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கங்களை ஒருகோட்டுப் புள்ளிகளில் சந்திக்கும்.^[3]^:p.199
முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையம், குத்துக்கோட்டின் நடுப்புள்ளி, ஒத்தபக்கம் வெளிவட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி மூன்றும் ஒரேகோட்டிலமையும்.^[4]^:p.120,#78
உள்வட்ட மையம், திணிவு மையம், ஸ்பைக்கர் வட்ட மையம் மூன்றும் ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள்.
சுற்றுவட்ட மையம், பிரகார்டு நடுப்புள்ளி, சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுச்சந்தி மூன்றும் நேர்கோட்டிலமையும் புள்ளிகள்.^[5]
மெனலாசின் தேற்றத்தின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் $A_{1},A_{2},A_{3}$ மூன்றின் எதிரமையும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின்மீது அல்லது பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளின்மீது உள்ள புள்ளிகள் முறையே $P_{1},P_{2},P_{3}$ எனில் கீழுள்ள கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்கற்பலன்கள் சமமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அப்புள்ளிகள் மூன்றும் ஒரே கோட்டின்மீது இருக்கும்:^[3]^{:p. 147}

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

நாற்கரங்கள்

குவிவு நாற்கரம் ABCD இன் எதிர்பக்கங்கள் வெட்டும் புள்ளிகள் E, F. AC, BD, EF இன் நடுப்புள்ளிகள் ஒரேக்கோட்டிலமைகின்றன. மேலும் அக்கோடு, நியூட்டன் கோடு என அழைக்கப்படும். நாற்கரம், தொடு நாற்கரமாக இருந்தால், அதன் உள்வட்ட மையமும் இதே கோட்டின் மீதிருக்கும்.^[6]
தொடு சரிவகத்தில் அதன் இரு இணைபக்கங்கங்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகளும் உள்வட்ட மையமும் நேர்கோட்டமைபவை.
தொடு சரிவகத்தின் தாங்கி பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளும் உள்வட்ட மையமும் ஒருகோட்டுப்புள்ளிகள்.

கூம்பு வெட்டுகள்

ஒன்றுக்கொன்று உள்ளமையாத மூன்று வட்டங்களுக்கு வரையப்படும் மூன்று சோடி வெளித் தொடுகோடுகள் வெட்டும் புள்ளிகள் ஒரெ கோட்டிலமைபவை.
நீள்வட்டத்தின் மையம், இரு குவியங்கள், மிகச்சிறிய வளைவு ஆரமுள்ள இரு உச்சிகள் ஒரே கோட்டிலமைகின்றன. மேலும் மையமும் மிகப்பெரியளவு வளைவு ஆரமுள்ள இரு உச்சிகள் மூன்றும் ஒரு கோட்டிலமையும்.
அதிபரவளைவின் மையம், இரு குவியங்கள், இரு உச்சிகள் ஒரு கோட்டுப்புள்ளிகள்.

நான்முகிகள்

ஒரு நான்முகியின் சுற்றுவட்ட மையம் மற்றும் மாஞ்சு புள்ளியின் (நான்முகியின் ஆறு நடுத்தளங்கள் சந்திக்கும் புள்ளி) நடுப்புள்ளியானது, நான்முகியின் திணிவு மையமாகும். இம்மூன்று புள்ளிகளும் நான்முகியின் ஆய்லர் கோட்டின் மீதமைகின்றன. நான்முகியின் ஆய்லர் கோடானது ஒரு முக்கோணத்தின் ஆய்லர் கோட்டிற்கு ஒத்த கருத்துருவாகும்.

இயற்கணிதம்

ஆயதொலைவுகள் தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகளின் நேர்கோட்டமைவு

பகுமுறை வடிவவியலில் n-பரிமாண வெளியிலமைந்த மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வேறுபட்ட புள்ளிகளின் ஆயதொலைவுகளின் அணியின் தரம் 1 அல்லது அதற்கும் குறைந்ததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அப்புள்ளிகள் ஒருகோட்டுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, X = (x₁, x₂, ... , x_n), Y = (y₁, y₂, ... , y_n), and Z = (z₁, z₂, ... , z_n) என்ற மூன்று புள்ளிகளின் ஆயதொலைவுகள் அணி

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

இந்த அணியின் தரமானது 1 அல்லது அதைவிடச் சிறியதாக இருந்தால் அம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டிலமையும்.

இதற்குச் சமானமாக,

X = (x₁, x₂, ... , x_n), Y = (y₁, y₂, ... , y_n), and Z = (z₁, z₂, ... , z_n) ஆகிய மூன்று புள்ளிகளடங்கிய ஒவ்வொரு உட்கணத்திற்கும் கீழ்வரும் அணியின் தரம் 2 அல்லது அதைவிடச் சிறியதாக இருந்தால் அம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டிலமையும்.

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

குறிப்பாக, ஒரு தளத்திலமைந்த (n = 2) மூன்று புள்ளிகளுக்கு மேற்கண்ட அணி ஒரு சதுர அணியாக இருக்கும்; மேலும் அவ்வணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு கோட்டிலமையும். இந்த அணிக்கோவையானது அம்மூன்று புள்ளிகளை உச்சிகளாகக்கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவில் இரு மடங்காகும். எனவே தரப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவை ஒரு கோட்டுப்புள்ளிகளாக இருக்கும்.

சோடிவாரியாக தொலைவுகள் தரப்பட்ட புள்ளிகளின் நேர்கோட்டமைவு

குறைந்தபட்சம் மூன்று புள்ளிகள்கொண்ட எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட புள்ளிகளில், ஒவ்வொரு மூன்று A, B, C புள்ளிகளுக்கும் பின்வரும் அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அப்புள்ளிகள் எல்லாம் நேர்கோட்டமைவு கொண்டவையாக இருக்கும். (d(AB) என்பது A, B புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரத்தைக் குறிக்கிறது):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

ஈரோனின் வாய்பாட்டின்படி இந்த அணிக்கோவ்வையின் மதிப்பு, d(AB), d(BC), d(AC) மூன்றையும் பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் வர்க்கத்தின் − 16 மடங்காகும். எனவே இந்த அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமா என்பதைக் காண்பது, A, B, C புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியமா என்பதைக் காண்பதற்குச் சமானமாகும் (எனவே உச்சிகள் ஒருகோட்டிலமையும்).

சமானமாக, குறைந்தபட்சம் மூன்று புள்ளிகள்கொண்ட எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட புள்ளிகளில், ஒவ்வொரு மூன்று A, B, C புள்ளிகளுக்கும் பின்வரும் சமனிலி

d(AC) ≤ d(AB) + d(BC)

(d(AB) , d(BC) ஒவ்வொன்றையும் விட d(AC) பெரியது)

உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே (சமக்குறியுடன்), அம்மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டிலமையும்.

எண் கோட்பாடு

m , n ஆகிய இரு எண்களுக்கு (0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n) புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்டு ஒரு சதுரப் பின்னலில் குறிக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் குறைந்தபட்சம் ஒரு உள்ளமை புள்ளியாவது (0, 0), (m, n) புள்ளிகளுடன் நேர்கோட்டமைவு கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே m , n இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருக்காது..

குறிப்புகள்

↑ The concept applies in any geometry (Dembowski 1968, pg. 26), but is often only defined within the discussion of a specific geometry (Coxeter 1969, pg. 178), (Brannan, Esplen & Gray 1998, pg.106)
↑ Colinear (Merriam-Webster dictionary)
↑ ^3.0 ^3.1 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
↑ Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.
↑ Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.
↑ Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.

மேற்கோள்கள்

Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-59787-0
Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-50458-0
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-61786-8, MR 0233275

[1] The concept applies in any geometry (Dembowski 1968, pg. 26), but is often only defined within the discussion of a specific geometry (Coxeter 1969, pg. 178), (Brannan, Esplen & Gray 1998, pg.106)

[2] Colinear (Merriam-Webster dictionary)

[Johnson-3] 3.0 ^3.1 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[AC-4] Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.

[5] Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.

[6] Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]