Generaliserad hypergeometrisk funktion

Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.

Definition

Definiera Pochhammersymbolen:

${\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),&&n\geq 1.\end{aligned}}$

Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som

$\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Specialfall

• Dilogaritmen:

$\operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)$

• Hahnpolynom:

$Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)\$

• Wilsonpolynom:

$p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right)$

• Laguerrepolynom

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)$

• Besselfunktionen:

$J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).$

Serien ₁F₀

Denna serie kan skrivas i sluten form som

${}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.$

Differentialekvationen för denna funktion är

${\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,$

eller

$(1-z){\frac {dw}{dz}}=aw$

vars alla lösningar ges av

$w=k(1-z)^{-a}$

där k är en konstant.

Serien ₀F₁

Funktioner av formen ${}_{0}F_{1}(;a;z)$ är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln

$J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).$

Differentialekvationen för denna funktion är

$w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}$

eller

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.$

Serien ₂F₀

Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei(z).

Serien ₃F₁

Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner. Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument.

Egenskaper

Eulers integraltransformation

Följande identitet är väldigt användbar:

${}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt.$

Differentiering

Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar

${\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}$

Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = _pF_q:

$z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w.$

Identiteter

Saalschützs sats

${}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}$

Dixons identitet

Dixons identitet ger summan av en viss ₃F₂-serie vid z=1:

${}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.$

Dougalls formel

Dougalls formel är formeln

${\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}\end{aligned}}$

där m inte är ett icke-negativt heltal och

$1+2a=b+c+d+e-m.$

Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.

Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för ₂F₂

Identitet 1.

$e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)$

där

$f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}.$

Identitet 2.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)$

som relaterar Besselfunktioner till ₂F₂; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:

Identitet 3.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)$.

Identitet 4.

${\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}}\end{aligned}}$

som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.

Kummers relation

Kummers relation är

${}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).$

Clausens formel

Clausens formel

${}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}$

användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.

Generaliseringar

Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Generalized hypergeometric function, 17 februari 2014.

• Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), ”Generaliserad hypergeometrisk funktion”, i Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. m.fl., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, , ISBN 978-0521192255 
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. "71". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6 
• Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. "32". London: Cambridge University Press 
• Dixon, A.C. (1902). ”Summation of a certain series”. Proc. London Math. Soc. 35 (1): sid. 284–291. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284. 
• Dougall, J. (1907). ”On Vandermonde's theorem and some more general expansions”. Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: sid. 114–132. doi:10.1017/S0013091500033642. 
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. "96" (2nd). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83357-4  (the first edition has ISBN 0-521-35049-2)
• Gauss, Carl Friedrich (1813). ”Disquisitiones generales circa seriam infinitam   $1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}$” (på latin). Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (Göttingen) 2. http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ.  (a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss, Werke, p. 125)
• Heckman, Gerrit; Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2  (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
• Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). ”Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2”. Math. Comp. 62: sid. 267–276. 
• Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). ”Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function _r+2F_r+1”. Zeit. Angew. Math. Physik: sid. 31–45. doi:10.1007/s00033-010-0085-0. 
• Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). ”A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates”. Risk Analysis. doi:10.1111/risa.12035. 
• Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). ”New summation formula for ₃F₂(1/2) and a Kummer-type II transformation of ₂F₂(x)”. Mathematical Communications 13: sid. 63–66. http://hrcak.srce.hr/file/37118. 
• Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). ”Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem”. Bull. Korean Math. Soc. 48: sid. 151–156. 
• Saalschütz, L. (1890). ”Eine Summationsformel”. Zeitschrift für Mathematik und Physik 35: sid. 186–188. 
• Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X  (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
• Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2