Inom matematiken är en blockmatris en uppdelning av en matris i mindre matriser. Den ursprungliga matrisen kan då skrivas som en samling mindre matriser. Uppdelningen av en matris i block måste vara konsistent, man kan se det som att man inför vertikala och horisontella linjer som går genom hela matrisen.
Matrisen:
A
=
(
1
1
2
2
1
1
2
2
4
4
5
5
4
4
5
5
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\4&4&5&5\\4&4&5&5\end{pmatrix}}}
Kan delas upp i fyra 2x2-matriser:
P
11
=
(
1
1
1
1
)
,
P
12
=
(
2
2
2
2
)
,
P
21
=
(
4
4
4
4
)
,
P
22
=
(
5
5
5
5
)
{\displaystyle P_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},P_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},P_{21}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}},P_{22}={\begin{pmatrix}5&5\\5&5\end{pmatrix}}}
Så att
A
{\displaystyle A}
A
=
(
P
11
P
12
P
21
P
22
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{pmatrix}}}
En blockdiagonal matris är en kvadratisk matris som har kvadratiska matriser i diagonalen, men alla andra element är noll. Om
A
{\displaystyle A}
A
=
(
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
A
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&A_{n}\end{pmatrix}}}
Där
A
k
{\displaystyle A_{k}}
A
{\displaystyle A}
direkt summa ,
A
=
A
1
⊕
A
2
⊕
.
.
.
⊕
A
n
{\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}\oplus ...\oplus A_{n}}
determinanten och spåret :
det
A
=
det
A
1
det
A
2
.
.
.
det
A
n
{\displaystyle \det {A}=\det {A_{1}}\det {A_{2}}...\det {A_{n}}\,}
tr
A
=
tr
A
1
+
tr
A
2
+
.
.
.
+
tr
A
n
{\displaystyle \operatorname {tr} {A}=\operatorname {tr} {A_{1}}+\operatorname {tr} {A_{2}}+...+\operatorname {tr} {A_{n}}}
Given två blockmatriser matriserna
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
m
×
p
{\displaystyle m\times p}
B
{\displaystyle B}
p
×
n
{\displaystyle p\times n}
A
=
(
A
11
A
12
⋯
A
1
s
A
21
A
22
⋯
A
2
s
⋮
⋮
⋱
⋮
A
q
1
A
q
2
⋯
A
q
s
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1s}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{q1}&A_{q2}&\cdots &A_{qs}\end{pmatrix}}}
B
=
(
B
11
B
12
⋯
B
1
r
B
21
B
22
⋯
B
2
r
⋮
⋮
⋱
⋮
B
s
1
B
s
2
⋯
B
s
r
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{s1}&B_{s2}&\cdots &B_{sr}\end{pmatrix}}}
Dvs,
A
{\displaystyle A}
s
{\displaystyle s}
q
{\displaystyle q}
B
{\displaystyle B}
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
Man kan då räkna ut matrisprodukten
C
=
A
B
{\displaystyle C=AB}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle r}
C
x
y
=
∑
k
=
1
s
A
x
k
B
k
y
{\displaystyle C_{xy}=\sum _{k=1}^{s}A_{xk}B_{ky}}
