Approximation av integralen
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Sammansatta trapetsregeln Trapetsregeln (ej att förväxla med trapetsmetoden numerisk metod för att approximera en bestämd integral på formen
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Metoden går ut på att integralen av
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
trapets ,
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
(
b
−
a
)
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}
Genom att dela in intervallet
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
N
{\displaystyle N}
h
=
(
b
−
a
)
/
N
{\displaystyle h=(b-a)/N}
sammansatta trapetsregeln ,
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
T
(
h
)
:=
h
∑
k
=
1
N
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
2
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx T(h):=h\sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}},}
där
x
k
=
a
+
(
k
−
1
)
h
{\displaystyle x_{k}=a+(k-1)h}
k
=
1
,
.
.
.
,
N
+
1
{\displaystyle k=1,...,N+1}
x
1
=
a
{\displaystyle x_{1}=a}
x
N
+
1
=
b
{\displaystyle x_{N+1}=b}
Om intervallängden
h
k
=
x
k
+
1
−
x
k
{\displaystyle h_{k}=x_{k+1}-x_{k}}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
1
N
(
x
k
+
1
−
x
k
)
f
(
x
k
)
+
f
(
x
k
+
1
)
2
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{N}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}.}
Trunkeringsfelet för den sammansatta trapetsregeln kan uttryckas som [ 1]
e
(
h
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
T
(
h
)
=
c
1
h
2
+
c
2
h
4
+
c
3
h
6
+
.
.
.
=
O
(
h
2
)
,
{\displaystyle e(h)=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x-T(h)=c_{1}h^{2}+c_{2}h^{4}+c_{3}h^{6}+...={\mathcal {O}}(h^{2}),}
det vill säga den dominerande feltermen är proportionell mot
h
2
{\displaystyle h^{2}}
noggrannhetsordning två.
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
