Diskussion:Serie (matematik)

Series = number sequence    &    convergent ≠ convergent    

"En serie eller talserie är en kumulativt summerad talföljd], det vill säga ett successivt summerat uppräkneligt antal termer." Min fråga: är följden av kvadraterne 1, 4, 9, 16, · · · en 'serie eller talserie' ? Ja, för det är en 'kumulativt summering' av den udda tal ! Eller inte ?

I (holländare, förstår svenska) have studied this question for many, many years. With final (?) conclusion that the right question is not: formulate 'the formal, official meaning' of the the word series in calculus. But: how is this word used in practical situations. For my answer, see below.

Trying to find a proper description of how the word series is used in practice (not in 'defining' chapters in textbooks), my result is:  

When the sum-sequence of an infinite succession, given by a law, of numbers, is studied (its clustering and limit), the succession is mostly denoted verbally by series (série, Reihe), and symbolically by a formula with the sigma sign or with plusses between the first few terms.

A worldwide convention says: if a succession is denoted by the word series,  the adjective 'convergent' (or forms of the verb 'to converge') means 'clustering of sums'  instead of 'clustering of terms'.

Isn't this enough for a math student for the rest of his/her life?  Maybe with mentioning alternative descriptions, as there are:

+ The word series stands for an expression of a certain kind (in fact two, or more?).

Comment.  Wheras nobody ever has explained how an expression can converge.

+ The phrase  <series with general term x_n> (1) stands for:  <sequence of partial sums of the sequence with general term x_n> (2).

Comment.  Despite the fact that the terms of (1) differ from the terms of (2).

+ The word series stands for:  the combination of a number sequence and its sequence of partial sums (Dieudonné/Bourbaki 1942).

Comment. A curious way to say: by tradition, a succession of numbers is called series when (the clustering and the sum of) its sequence of partial sums is at stake.

Maybe mentioning from the history of 'convergent':

Long ago, the verbal denotation of a succession of numbers by 'convergent series', could mean (e.g. by Gauß): clustering of the terms at limit zéro.

After Cauchy's Cours d'Analyse (1821), up untill now,  the only meaning of  'convergent series'  is:  a succession of numbers with clustering partial sums.

In the decades around 1900 the idea came up (Charles Meray 1872 – Konrad Knopp 1920) that the clustering of the terms of an infinite succession is more fundamental than the clustering of its partial sums. Instead of introducing a new word, the meaning of 'convergent' changed over to clustering terms, in situations where an infinite succession isn't denoted by series but by the quite new sequence (Folge, suite/variante).

Unfortunately 'convergent series' didn't change into 'summable series' (although 'summable' allready was in use – at least in German – as synonym for 'convergent' for a long time).

Needless to say that it will be difficult to describe the meaning of series, when you're not aware of the fact that the meaning of 'convergent', depends on the choice for the name sequence or the name series .

To what extend there will be agreement with the above-mentioned?   Hesselp (diskussion) 14 januari 2023 kl. 18.49 (CET)

Koncept-text

No reactions after more than a year. In the meantime I gathered references supporting the description given above of the use in practice of 'series' and 'convergent':

# A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse, 1821, p. 123

On appelle série une suite indéfinie de quantités qui dérive les unes des autres suivant une loi déterminée. […] Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme des n premiers termes s'approche indéfiniment d'une certain limite, la série sera dite convergente.

# E. Vessiot, P. Montel, Cours de Mathématiques Générales-Première Partie par E Vessiot, 1921, 1e éd. p. 72; 11e éd. 1947, p. 72

Une suite infinie de nombres prend le nom de série lorsqu'on se propose d'étudier ce que devient, pour n infini, la somme de ses n premiers termes. On écrit alors les termes de la suite en les séparant par des signes +; et on énonce : la série u₁+u₂+...+u_n+... ou : la série u_n .

# L. Bieberbach, Differential- und Integralrechnung, 3. Auflage 1928, S. 34

Wir legen unseren Betrachtungen eine Zahlenfolge [...] zugrunde und nehmen uns vor, den Summenbegriff auf diese Folge von unendlich vielen Zahlen zu übertragen. Zum Zeichen dieses Vorhabens pflegt man gern die Glieder der Folge durch Pluszeichen zu trennen und von eine unendlichen Reihe statt einer unendlichen Folge zu reden.

# P. Wijdenes, Middel-algebra, part II, 3rd ed. 1944, p. 118; 5th ed. 1954, p. 118

(From the Dutch) To indicate that we pay attention to the partial sums, we call the infinite sequence of numbers an infinitely ongoing series or simply series. The numbers we call the terms of the series, and the signs representing this terms we connect by plus signs.

# D.A. Quadling, Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, p. 85

When the sequence ur is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol Σ u_r ; ... .

# E. Bishop, Foundations of Constructive Analysis, 1967.  p. 30

# E. Bishop, D. Bridges, Constructive Analysis, 1985.  p. 31

A sequence which is meant to be summed is called a series.

# K. Hoffman, Analysis in Euclidean Space, 1975, p. 35; 2007 (Dover edition)

In many problems, we are given a sequence {X_n} and we are interested in the convergence of the successive sums. We then speak of the infinite series Σ_n X_n .

# H.J. Keisler, Elementary calculus, 1976, p. 529; 2012, p. 501

When we wish to find the sum of an infinite sequence ⟨a_n⟩ we call it an infinite series and write it in the form a₁+a₂+...+a_n+... .

I'm looking for even more citations of this kind.
Based on the argumentation and the sources given above, I plan to add the following text as the opening of the article. Commands, and language corrections, are welcome.

Koncept:
Serie är det traditionella namnet för en oändlig talföljd. Nuförtiden använder man detta namn bara när man undersöka konvergensen av följdens delsummor (följdens 'summerbarhet'), och i kontexten där delsummors gränsvärde är relevant.
I samband met namnet 'serie' behåller orden 'konvergent' och 'divergent' sin gamla betydelse (sedan Cauchy, 1821): existens eller ej av delsummens gränsvärde. När en följd kallas 'serie' är det vanlig at notera följden med plustecken mellan termer, eller med sigma-tecken. [Fotnot: 8 referenser/citat]

Följaktligen förekommer kombinationer
- bara med 'serie': taylorserie, fourierserie, potensserie, serieutveckling ;
- bara med 'följd': cauchyföljd, fibonacciföljd, ändlig följd, aritmetisk följd ;
- med 'följd' och med 'serie': alternerand ..., harmonisk ..., geometrisk ..., oändlig ..., cauchyprodukt av två ... .
Hesselp (diskussion) 19 april 2024 kl. 14.27 (CEST)

Gillar ej. Serie/talföljd är ett icke stringent begrepp. jag ser inte någon vits göra en sträng matematisk defenition av dessa begrepp Yger (diskussion) 19 april 2024 kl. 14.34 (CEST)

@Yger: Tack för din kommentar. Min reaktion:

1. « … talföljd är ett icke stringent begrepp». Håller inte med. Jag känner inga matematiker som definierar 'talföljd' med något annat än: "afbildning av N i Q, R eller C" eller något liknande.

2. «serie … är ett icke stringent begrepp». Håller med, så långt man försökar att definiera ett begrepp som skiljer sig från begreppet 'oändlig talföljd'.

3. Det är anmärkningsvärd att ordet 'serie' förekommer i matematiska texten vanligtvis utan problem för läsaren. Flera matematiker (se referenser) förklarar detta på dett sätt som visas i konceptet. Det ser jag inte som en «sträng matematisk definition för ett (självständig) begrepp», men som ett försök att beskriva hur man kan interpretera ordet 'serie' i en matematisk text. Är detta inte informativ för WP-läsare ?

4. Jag vill nämna din «serie är ett icke stringent begrepp» på ett inte för starkt provocerande sätt, med tre nya uppskrifter:

Försök att definiera ett begrepp 'serie'

Kumulativt summerad talföljd

[En serie eller talserie är en kumulativt summerad …osv]

Följd av delsummer av en talföljd

[Formellt definierar man …..osv]

Ja? Hesselp (diskussion) 21 april 2024 kl. 10.51 (CEST)

@St.nerol: Med anledning av din "[förtydliga]" (april 2022 ) i början av artikeln Serie (matematik), vil jag gärna se din syn på det ovanståande. Är saken (delvist) 'förtydligt' med placering av konceptet (19 april 2024)? Hesselp (diskussion) 21 april 2024 kl. 10.54 (CEST)

Wikipedia är en encyklopedi som enbart återger vad trovärdiga källor skriver. För serie skriver SAOL oavbruten följd, NE skriver upprepad förekomst (av en viss typ av föremål) i regelbunden följd Det är ungefär vad som står nu. Ingen av standardkällorna anger detta en enbart giltigt inom matematiken och med en med exakt definititon. Och vi skall då inte definiera mer än dessa källor gjort, då det är ett icke-stringent begrepp. Inget av det du säger dig vilja ha in återfinns i standadordbok, utan ser ut som något du "tycker" (=egen forskning, som inte platser i WP). Förtydliga handlar om den meningen jämfört med den som följer. Jag antar det går att åtgärda med en komplettering En serie kan bestå en v ett ändligt eller oändligt antal element Yger (diskussion) 21 april 2024 kl. 13.27 (CEST)

Ja, jag tror att enda anledningen till att jag satte taggen var att det inte är helt klart om ändlig/oändlig syftar till seriens värde eller antalet termer som summeras. Den efterföljande meningen berör båda aspekterna. Den tvetydigheten borde inte vara så svårt att fixa, som Yger är inne på. —St.Nerol (diskussion, bidrag) 21 april 2024 kl. 23.23 (CEST)

I NE:s ordbok[1] är betydelse 1: upprepad förekomst (av en viss typ av föremål) i regelbunden följd. Betydelse 2 (åtminstone i pappersversionen) är den matematiska termen som motsvarar serie (matematik): följd av tal som man betraktar med av­sikt att summera dem. Encyklopedier är antagligen bättre källa än ordböcker. NE:s encyklopediska artikel[2] om den matematiska betydelsen börjar med matematisk följd av termer som adderas. 90.227.175.218 22 april 2024 kl. 20.03 (CEST)

Till Yger. Artikeln heter avsiktligt: Serie (m a t e m a t i k). Det betyder (tro jag) att texten skulle vara baserad på källor inom matematiken. (Förresten: SAOLs "oavbruten följd" passar precis på Cauchys citat, och på första meningen i konseptet.)

Varför: "ser ut som … egen forskning"? Är källorna inte 'trovärdig'? Jag erkänner att jag har inga – sekundära – källor för delen Följaktligen förekommer kombinationer …., så det kan kanske bättre blir kvar på diskussionssidan.

Det är konstig att artikeln börjar med "en kumulativt summerat" följd, och "ett successivt summerat" antal termer. För hur kan man veta om följden med elementen 1, 4, 9, . . . är 'kumulativt/successivt summerat' eller inte. Detsamma gäller för den 'formella[?] definitionen'. Hur kan man veta om en given talföljd är en talföljd 'av delsummor till en given talföljd'. Ingen förklarande källa ges. Hesselp (diskussion) 23 april 2024 kl. 15.52 (CEST)

Till St.nerol. Nu förstår jag anledningen till din tagg. Tack. Hesselp (diskussion) 23 april 2024 kl. 15.55 (CEST)

Till användare 90.227.175.218. Tack för de intressanta källorna. Svenk Ordbokens

Serie: följd av tal som man betraktar med avsikt att summera dem.

kommer mycket nära innehållet av den citat jag nämnde (19 april). Särskilt om man läser inte:

En serie är . . . en följd av tal som man betraktar . . . osv

(för man kan fråga: hur kan jag veta om en given följd "betrakts med avsikt att summera dem".), men istället:

Serie (ordet 'serie') används (nuförtiden) som namn för . . . en följd av tal som man betraktar . . . osv .

Om NE:s encyklopediska artikel med: Serie: matematisk följd av termer som adderas.

Man kan fråga här också: hur kan jag veta om en given matematisk följd "har termer som adderas". Hesselp (diskussion) 23 april 2024 kl. 15.59 (CEST)

@Hesselp: Av det som du har skrivit ovan så verkar det som om du blandar ihop serier med talföljder. En serie är summan av alla tal i en talföljd. /ℇsquilo 24 april 2024 kl. 09.25 (CEST)

@Esquilo: Tack för ditt intresse. Du skriver «En serie är summan av alla tal i en talföljd.». Men . . . "summan av alla tal i en talföljd" är i sig ett tal, och ett tal kan aldrig vara konvergent eller divergent, eller ha en summa.

Och till din «du blandar ihop serier med talföljder»: Artikeln säger i mening 1 "En serie är en [...] talföljd", och i mening 5 "Formellt [...] en talföljd". Mitt arkiv innehåller citat från hundratals matematiker som följade Cauchy (On appelle serie une suite(svit/följd) indéfinie de quantités (= nombres pos. et neg.)).

"En konvergent serie" har aldrig betydd något annat än "en följd vars delsummor har ett gränsvärde" [Jag menade: ett ändligt gränsvärde; Hesselp 25 april 2024]. Se eventuellt vad jag har skrivet ovan (14 jan. 2023) om "the history of 'convergent' ". 2A02:A46A:3849:1:C527:641F:2570:205E 24 april 2024 kl. 16.22 (CEST)

IP-adressen (24 april) skulle läsas: Hesselp. Hesselp (diskussion) 25 april 2024 kl. 09.21 (CEST)

Som du kan se av definitionen av serier så baseras den på limes och är därför alltid konvergent (mot ett bestämt tal) eller divergent (mot oändligten). /ℇsquilo 25 april 2024 kl. 08.00 (CEST)

En källa till . Användare 90.227.175.218 nämnde (22 april) en intressant källa i Nationalencyklopediens ordbok (NEO; 1995/'96 eller 2004). Exakt samma beskrivning av betydelsen av ordet 'serie' i matematiken, har den ännu nyare ordboken Svensk ordbok utgiven av Svenska Akademien (SO; 2009, andra uppl. 2021, [3]) :

följd av tal som man betraktar med avsikt att summera dem.

En gång till. Om man skulle läsa detta som :

b e g r e p p e t som kallas 'serie' är en följd av tal som man betraktar med avsikt . . .,

då återstår frågan: hur kan man veta om en given följd är en "följd av tal som man betraktar med avsikt . . ." ?

[Är harmoniska följden en "följd av tal som man betraktar med avsikt . . ." ?] Detta problemet uppstår inte när man läser :

n a m n e t 'serie' brukar man istället av namnet 'följd' när man betraktar en följd av tal med avsikt . . ." .

Har konceptet av den 15 april nu tillräckligt 'trovärdiga' källor?

Hesselp (diskussion) 28 april 2024 kl. 19.16 (CEST)

Omskriven

Jag har nu skrivit om artikeln och helt baserat substans på vad som står i NE och svensk uppslagsbok Yger (diskussion) 2 maj 2024 kl. 07.17 (CEST)

Till borttagningen av version 1 maj

Jag (Hesselp) har fått följande förklaring av Yger för borttagningen:

"Jag har ogjort ditt inlägg då det var alldeles för mycket av eget resonemang (=egen forskning vilket ej är OK). Texterna skall tas från trovärdiga källor. Och att du hittat flera definitioner av serier blir inte en källa för vald text. Jag har sedan skrivit om artikeln och baserat substansen helt på NE och svensk uppslagsbok Yger (diskussion) 2 maj 2024 kl. 07.22 (CEST)"

Får jag fråga @Yger: :

1. I vilken av mina fyra meningar ser du (alldeles för mycket) 'eget resonemang' ? Min första mening är nästan identisk med det du börjar med. Din "Serier används oftast för att summera" kommer nära min "använder man detta namn bara när man undersöka …delsummor".
Betydelse av 'konvergent serie' har varit alltid vad min tredje mening säger. Och notationen med plustecken eller sigma-tecken, om det handlar om 'serier', är mycket allmänt. (Du skulle har rätt om jag skulle argumentera för att helt avskaffa ordet 'serie', och att bara tala om 'konvergent följd' och 'summerbar följd'. Mycket praktiskt ! )
2. Varför skriver du: "hittat flera definitioner av serier"? För i alla källor (version 1 maj) står 'serie' för ingenting annat än 'en följd' eller 'en talföjld' (avbildning på N). Precis som du börjar (2 maj) : "En serie…är…en talfjöld" .

(Hesselp:) Det verkar som att du (Yger) håller med om ovanstående i 1. och 2. .

3. Tycker du, att NE och Svensk uppslagsbok är mer trovärdiga källor än den ännu yngre NEO och SO ? Varför?

Av tradition väger NE som den modernaste tryckta encyklopedin tungt, och vi brukar alltid ha med den. SO är inte en encyklodi utan en ordbok. Su är en mycket god och relativt modern encyklopedi, i detta sammanhang gillar jag den bättre än Nordisk familjebok (och är också modernare)Yger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.36 (CEST)

(Hesselp:) Frågan 3 har inte besvarats. Är encyklopediens (NE) "följd av termer som adderas" mer trovärdig än ordbokens(NEO/SO) "följd av tal som man betraktar med avsikt att summera dem"?

4. Kan du, eller någon annan, citera här de relevanta delerna ut NE band 16 sid. 378, ock Svensk uppslagsbok band 25 sid. 892 ?
Hesselp (diskussion) 5 maj 2024 kl. 12.16 (CEST) --- Hesselp (diskussion) 8 maj 2024 kl. 11.38 (CEST)

Att jag inte svarar är långtifrån att jag håller med. dra inga sådan slutsatser! Yger (diskussion) 8 maj 2024 kl. 11.46 (CEST)

Här följer texterna för de refererade uppslagsorden i NE och SU som svar på fråga 4 ovan:

• Texten för uppslagsordet serie på sidan 378 i band 16 av NE:

”

matematisk följd av termer som adderas. Vanligen är antalet termer oändligt. Summan $s_{n}=t_{1}+t_{2}+\dots +t_{n}$ av de n första termerna kallas då seriens n:te delsumma. Om delsummorna $s_{n}$ har ett gränsvärde s då n$\to \infty$, säger man att serien är konvergent med summan s. Serier uppträder naturligt då man söker lösa matematiska ekvationer med successivt ökad noggrannhet. Ofta är termerna $t_{n}$ funktioner av en eller flera variabler och man talar då om funktionsserier. Exempel på funktionsserier är potensserier, där termerna har formen $a_{n}x^{n}$, och trigonometriska serier (Fourier-serier) med termer av typen $a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx$. En serie som inte är konvergent kallas divergent. Även divergenta serier är av intresse och kan behandlas med stingenta matematiska metoder. I en s.k. asymptotisk serie ger delsummorna användbar information även om serien är divergent. Många divergenta serier kan också fås att konvergera med hjälp av lämpliga summationsmetoder.

„

• Texten för uppslagsordet Serie i spalt 891 i band 25 av Svensk uppslagsbok:

”

4) Matem., en följd av termer, $a_{1},a_{2}\dots a_{n}$ ($a_{n}$ kallas s:s allmänna term). Partialsumman $s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}$ kan anges genom enkla uttryck i vissa fall, t.ex. 1) vid aritmetiska s. $a,\ a+d,\ a+2d\dots$ (differensen d konstant) $s_{n}={\frac {n}{2}}(a+u)$ ( u sista termen); 2) (allmännare) vid högre aritmetiska s. (där $a_{n}$ är ett polynom av n) är $s_{n}$ också ett polynom (med en enhet högre gradtal), t.ex. $1+4+9+\dots +n^{2}={\frac {n}{6}}(n+1)(2n+1)$; 3) vid geometriska s. $a,\ aq,\ aq^{2}\dots$ (kvoten q konstant) är $s_{n}={\frac {a(q^{n}-1)}{q-1}}$; 4) vid s. ${\frac {1}{2}}+\cos x+\cos 2x+\dots$ är $s_{n}={\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}$. En oändlig s:s (med oändligt många termer) summa s är gränsvärdet av $s^{n}$, då n växer över alla gränser. Existerar detta gränsvärde, kallas s. konvergent, i motsatt fall divergent, och den har i sistn. fall ingen summa i vanlig bemärkelse. Ex: den geometriska s. är konvergent med $s={\frac {a}{1-q}}$, om q ligger mellan −1 och +1, annars divergent. Konvergenta oändliga s. äro sedan lång tid det förnämsta hjälpmedlet för beräkning av funktioner, t.ex. 1) $e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{1\cdot 2}}+{\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+\dots$ 2) $\sin x={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}-\dots$ 3) $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{1\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}-\dots$ (vinkeln x i radianmått), vilka konvergerar för alla värden på x, 4) $\ln {(1+x)}={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\dots \ (-1<x<1)$ Se vidare Taylorska serien. En annan viktig typ av s. (trigonometriska s.) är $a_{0}+a_{1}\cdot \cos x+b_{1}\cdot \sin x+a_{2}\cdot \cos 2x+b_{2}\cdot \sin 2x+a_{3}\cdot \cos 3x+\dots$. Sådana s. kunna framställa en godtycklig sträckvis kontinuerlig funktion (inom ett intervall av längden $2\pi$, eftersom s.-summan är en periodisk funktion med perioden $2\pi$), given t.ex. genom en empiriskt bestämd kurva. Vissa divergenta s. har man lyckats göra användbara genom att betrakta t.ex. medelvärdet av $s_{1},s_{2}\dots s_{n}$ och anse dess gränsvärde som s:s "summa" (användbart konstgrepp vid trigonometriska s. som ej alltid äro konvergenta). Vid andra s. (asymptotiska el. semikonvergenta s.; ofta använda vid interpolation) avtar först $a_{n}$ och $s_{n}$ närmar sig den sökta funktionen, varefter $a_{n}$ växer över alla gränser. Exempel på dyl. s. är (stirlingska s.) $\log \Gamma (x+1)=\log {\sqrt {2\pi }}-x+(x+{\frac {1}{2}})\log x+{\frac {B_{2}}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{x}}-{\frac {B_{4}}{3\cdot 4}}\cdot {\frac {1}{x^{3}}}+{\frac {B_{6}}{5\cdot 6}}\cdot {\frac {1}{x^{5}}}-\dots (\Gamma (x+1)=1\cdot 2\cdot 3\dots x$ för heltal x; felet i s. är mindre än första utelämnade termen; $B_{2}={\frac {1}{6}},B_{4}={\frac {1}{30}},B_{6}={\frac {1}{42}}\dots$ äro de s.k. bernoulliska talen. — Jämför Aritmetisk serie, Geometrisk serie, Harmonisk serie, Trigonometriska serier och Serieutveckling.

„

Not: Ett par misstänkta tryckfel i den upplaga av SU jag har tittat i:

• står: "gränsvärdet av $s^{n}$,", bör stå: "gränsvärdet av $s_{n}$,"
• står: "polynom av n", bör stå "polynom av grad n"

--Larske (diskussion) 5 maj 2024 kl. 15.29 (CEST)

"polynom av n" är nog inte feltryck. I exemplet är "a_n=n²" ett andragradspolynom av n, och delsummorna s_n kan skrivas som ett tredjegradspolynom av n. 90.227.175.218 5 maj 2024 kl. 15.55 (CEST)

Javisst, feltänkt av mig. Tack för påpekandet. --Larske (diskussion) 5 maj 2024 kl. 16.14 (CEST)

Tack så mycket Larske för texterna, vriendelijk bedankt. Hesselp (diskussion) 5 maj 2024 kl. 18.29 (CEST)

Kommentar till version 2 maj

a . «En serie eller talserie är inom matematiken en talföljd»
Ordet 'talserie' förekommer inte i matematikens praktik (eller är extremt sällsynt?).

så skriver den trovärdiga källanYger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Jag hittar inte 'talserie' i (Larskes kopior av) Su och NE.

b . «av uppräkneligt antal termer, vanligtvis är den oändlig, men den kan även vara ändlig.»
I matematiska praktiken står 'serie' aldrig för en ändlig följd. Motexempel? Ett uppslagsverk som säger något annat är inte 'trovärdig' här.

så skriver den trovärdiga källan.Yger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) 'Uppräkneligt' innebär oändlighet. Förslag: En serie är inom matematiken en oändlig (sällan ändlig) följd av tal.

c . «Serier används oftast för att summera termerna i den med hjälp av en matematisk formel.»
Abrakadabra. Eller ska man läsa här: "Nuförtiden använder man namnet 'serie' bara när man betraktar följdens delsummors egenskap" ?

återigen enligt källa.Yger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Kan källan visas?

d . «Om skillnaden ... kan summan av en serie vara ändlig, även ...»
'Summan av en serie' har ännu inte förklarats.

kan skriva bättre.Yger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Förslag: kan summan av en serie vara ändlig, kan delsummernas gränsvärde vara ändlig,

e . (viktigast) «Man säger då att den konvergerar.»
"En serie konvergerar" betyder något annat än "en följd konvergerar". Det strider mot "En serie... är ... en (tal)följd" i översta raden . Vessiot/Montel och andra matematiker har beskrivit med vilka konventioner tvetydigheten undviks. Version 1 maj ger denna viktiga information.

Jag är öppen för bättre formulering.Yger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Förslag: . . . Man säger då att serien konvergerar. Men akta! När det nyare namn 'följd' används istället av det traditionella 'serie', har 'konvergent' sin nyare beteckning 'ändliga gränsvärde av termer ' istället av det traditionella 'ändliga gränsvärde av delsummor ' .

f . «Termerna i serien utgörs oftast av olika typer av matematiska uttryck som beror på ordningstalet i serien.»
Abrakadabra.

Så står det i källan, men om du har bättre formulering så skriva denYger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Kan källan visas? Med kontexten.

g . «När ... är det en aritmetisk serie»
I praktiken förekommer inte namnet 'aritmetisk serie', bara 'aritmetisk följd' (eller 'aritmetisk progression'). Se Aritmetisk serie.

flera källor, (de flesta) anger aritmetisk serieYger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Är Innehållet i den artikeln Aritmetisk serie inte övertygande? Det verkar bättre att förklare 'aritmetisk' och 'geometrisk' (och 'harmonisk') in artikeln "Följd" (eller "Talföljd").

h . «Även andra typer av serier finns, såsom trigonometriska serier där termerna uttrycks med trigonometriska funktioner.»
"Andra typer" ? ? ? . . . Serien cosπ + 2sinπ + 4cosπ + 8sinπ + · · · är både en 'geometrisk serie' och 'en serie där termerna uttrycks med trigonometriska funktioner'.

jag förstår inte din kommentar, text är från källamYger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Sammanfattningen av texten i Su är inte korrekt. Introduktionen av funktionsserier och potensserier behövs först.

i . «Exempel på serie är Taylorutvecklingen som ger summan e»
Taylorutvecklingen är en avbildning som tilldelar potensserier till en given funktion. Exemplet är varken en avbildning eller en potensserie.

tagit från källanfanns med i tidare artikelversionYger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 16.54 (CEST)

(Hesselp:) Taylorutvecklingen av exponentialfunktionen är en potensserie, så ingen exempel på serie (= talföjld)

@Larske: Efter tillägget (18 maj) av "e^x för x=1" kvarstår följande invändningar:

(1) Ut­trycket "Taylorutvecklingen av exponentialfunktionen e^x för x=1" står för talföljden med termer 1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, · · · . Det är omöjligt att avgöra om denna följd är 'avvsed för summering' eller inte. Så jag kan inte se ett 'exempel' här.

(2) Efter kolonnen står fyra uttryck för talet 2,718281···. En serie är varken ett uttryck eller ett tal (en serie kan vara konvergent, ett uttryck (en: expression) eller ett tal är aldrig konvergent) Hesselp (diskussion) 20 maj 2024 kl. 12.42 (CEST)

Jag har skrivit om meningen lite nu:

• Ett exempel på en talföljd är termerna i Taylorutvecklingen av exponentialfunktionen e^x för x=1, som, om de successivt summeras, bildar en serie som konvergerar mot e

Blev det bättre så?

Det där med om "en talföljd är avsedd att summeras eller ej" tror jag inte att du ska hänga upp dig på. En avsikt är något som en människa kan ha och avsikt är såvitt jag känner till inte någon matematisk term.

-- Larske (diskussion) 20 maj 2024 kl. 13.12 (CEST)

Nej, tyvärr blev det inte bättre. Uttrycket "termerna i Taylorutvecklingen av exponentialfunktionen ex för x=1" står (som sagt) för: 1, 1, 1/2, 1/6, … . Det är ett exempel på en talföljd, ja. Successivt summering definierar en ny talföljd, vars delsummor inte betraktas här (är inte 'avsedd för summering' här), så ingen anledning för namnet 'serie'. Exemplet – utan 'serie' – passar bättre i artikeln Talföljd. Fastän: är Taylorutvecklingen lämplig för 15-16-årigen? Finns det inga enkla exempel på användningen av ordet 'serie' i analysen? Hesselp (diskussion) 22 maj 2024 kl. 22.51 (CEST)

Jag tycker att det är olyckligt att frasen "avsedd för summering" har lagts in i artikeln, den fanns inte där i tidigare versioner (före 11 maj 2024). När jag skrev "...om de successivt summeras..." är det ju precis ett sådant betraktande av delsummorna som du påstår inte finns.

Om du, trots denna förklaring, ändå anser att min ändring var en försämring av artikeln är det bara att ändra tillbaka. Jag avser inte att försöka bidra ytterligare till artikeln under den närmaste framtiden.

-- Larske (diskussion) 22 maj 2024 kl. 23.21 (CEST)

Försök till förtydligande.

Larske (Disk. 20 maj): . . . om de (termerna 1, 1, 1/2, 1/6, …) successivt summeras, bildar en serie (en talföljd med termerna 1, 2, 5/2, 8/3, ...) som konvergerar mot e .

Hesselp (Disk. 22 maj): Det (följden 1, 1, 1/2, 1/6, …) är ett exempel på en talföljd. Successivt summering definierar en ny talföljd (1, 2, 5/2, 8/3, ...), vars delsummor (1, 3, 11/2, 49/6, ...) inte betraktas här (är inte 'avsedd för summering' här), så ingen anledning för namnet 'serie' (för följden 1, 3, 11/2, 49/6, ...).

Kan du förstå mig nu? Delvis? Hesselp (diskussion) 23 maj 2024 kl. 11.29 (CEST)

j . «Tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa.»
"Tilldelas en summa" och "en series summa" har ännu inte förklarats.

Detta är en encyklopedi, inte ett uppsättninga matamatiska teoremYger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Det handlar inte om en teorem. Även i en encyklopedi ska man inte tala om "andra definitioner av en series summa" utan en definition av "en series summa". Förslag: Det finns serier vars delsummor inte har en ändlig gränsvärde, men för vilka ett slags gränsvärde definieras på annat sätt. Bland dessa . . .

k . «Även analytisk fortsättning kan användas för att tilldela serier summor.»
Det är tvärtom. Det gäller här inte att ‘tilldela serier summor’, men att hitta potensserier i domänvärden av en given funktion utanför konvergenscirkeln av sin Taylorutveckling. Hesselp (diskussion) 5 maj 2024 kl. 12.19 (CEST)

Förstår ej och tagit från källanYger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.33 (CEST)

(Hesselp:) Kan källan visas? Med kontexten.

Hesselp (diskussion) 8 maj 2024 kl. 11.20 (CEST)

Koncept 5 maj, med tilläg 7 maj 8 maj

Serie är inom matematiken det traditionella namnet för en oändlig talföljd (sällan ändlig) följd av tal. <noter : Cauchy, SAOL Cauchy, Su, NE, SAOL> Under 1900-talets första hälften blev det gradvis vanlig att använda ordet 'serie' bara när man undersöker egenskap av följdens delsummor och i kontexter där delsummors gränsvärde är relevant.
I samband met namnet 'serie' behåller orden konvergent och divergent sin gamla betydelse (sedan Cauchy, 1821) : existens eller ej av delsummens ändliga gränsvärde. När en följd (a_k) kallas 'serie' är det vanlig at notera följden med plustecken mellan termer, eller med sigma-tecken <noter: Vessiot/Montel, Bieberbach, Wijdenes, Quadling, Bishop , Bishop/Bridges, Hoffman, Keisler, NEO, SO >:
$\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \quad$ eller $\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}+\cdots \quad$ eller $\quad$Σ$a_{k}$ .
Följaktligen förekommer kombinationer
- bara med 'serie': taylorserie, fourierserie, potensserie, serieutveckling ;
- bara med 'följd': cauchyföljd, fibonacciföljd, ändlig följd, aritmetisk följd ;
- med 'följd' och med 'serie': alternerand ..., harmonisk ..., geometrisk ..., oändlig ..., cauchyprodukt av två ... .

Det finns serier som är divergenta i den vanliga meningen men ändå tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa. Det finns serier vars delsummor inte har en ändlig gränsvärde, men för vilka ett slags gränsvärde definieras på annat sätt. Bland dessa kan nämnas Cesàrosummering, Abelsummering och Borelsummering.

Se även
Fourierserie, Teleskoperande serie, Harmoniska serien

Referenser

• Arne Persson, Lars-Christer Böiers, Analys i en variabel, Studentlitteratur, andra upplagan 2001. ISBN 91-44-02056-2.
• Sven Spanne, System och Transformer I Tidsdiskreta lineära system och komplex analys, KFS AB 2005.

Noter
1. - (som i version 1 maj) Cauchy, SAOL
- Su Svensk uppslagsbok band 25, 1953, sid. 892
Serie: Matem., en följd av termer a₁, a₂ . . . a_n (a_n kallas s:s allmänna term).
- NE Nationalencyklopedin band 16, 1995, sid 378
Serie: matematisk följd av termer som adderas. Vanligen är antalet termer oändligt.
2. - (som i version 1 maj) Vessiot/Montel, Bieberbach, Wijdenes, Quadling, Bishop , Bishop/Bridges, Hoffman, Keisler, NEO, SO .

Mall: Serier och följder
Kategorier: Matematiska serier| Matematisk analys
Hesselp (diskussion) 5 maj 2024 kl. 12.36 (CEST) --- Hesselp (diskussion) 8 maj 2024 kl. 11.29 (CEST)

Samma problem som tidigare, dvs ej acceptabelt. Artikleln skall skiva vad tillförlitliga källor skriver om serier, inte filosofera vad som är tradionellt och hur synsättet ändrats över tiden (möjligtvis kan dock en rubrik historik tillföras, men då måste sådan påståenden ha text som explicit kan återfinans i källa) Yger (diskussion) 5 maj 2024 kl. 14.26 (CEST)

Jag förstår att konceptet 5 maj är inte acceptabelt för Yger pga:

i. »Den 12 källorna, alla med citat, är inte tillräckligt tillförlitliga«

Varför inte har inte nämnts. I NE och Su har problemet med tvåtydighet av ordet 'konvergent' inte explicit nämnts. Inte heller konventionerna som löser detta problem. Skulle det innebära förbud att nämna detta i WP ? Artikeln Konvergens (matematik) börjar med tvåtydigheten av ordet 'konvergent', men talar inte om 'serier'.

ii. »ordet 'traditionella'«

Källor för "serie: en föjld av termer" börjar med Gauss och Cauchy 1820 och slutar med NE 1995 och SO 2015. Så 'traditionella' passar mycket bra. Eftersom källor nämns kan det inte ses som 'filosofera'. Ja?

det är du som läst källorna och dragit slutstser, det är egen forskning (=no). Och du har ingen modern källa som använder ordet "traditionell"Yger (diskussion) 8 maj 2024 kl. 12.12 (CEST)

iii. »Under 1900-talets första hälften blev det gradvis vanlig«

Det är viktigt att läsarna veta hur ordet 'serie' används nuförtiden. Men WP:Tidlöshet frågar att specificera detta 'nuförtiden'. En källa för specificeringen kan återfinns hos Konrad Knopp (1932), med texten "In dem letzten Jahrzehnt hat sich in der Mathematik allgemein der in den Erklärungen [I-67, II-71] festgelegte Sprachgebrauch durchgesetzt." Så inte heller 'filosofera'. Ja?

Jag har ändrat 5 maj-konceptet på ett antal punkter. Jag ser att Su och NE definierar 'serie' konform Cauchy. Hesselp (diskussion) 8 maj 2024 kl. 12.02 (CEST)

Även nya har samma problem vi skall inte skriva vad som "tradionellt" avses utan vad som avses enligt goda källor. och NU och Su ä föredragna källor Yger (diskussion) 8 maj 2024 kl. 11.34 (CEST)

@Yger: Ett sak som nog förvirrar är att delsummor också är serier eller talserier. Men de här två typerna av serier brukar inte behandlas riktigt lika, även om de båda är serier. Om du ska föredra NE eller (i mina ögon bättre) akademiska källor beror vilken målgrupp artikeln har. Serier är något man börjar med tidigt i sina matematikstudier, men det är också något som man kan forska i till tiden tar slut. I båda ändarna av detta är det inte självklart att man formulerar sig på samma sätt. Därför kan formuleringarna divergera. En annan orsak till divergens är också att de bästa källorna inte är på svenska, särskilt inte i den högre planhalvan. Då kan det bli svårt att formulera sig lika i alla svenskspråkiga källor. Själv har jag en egen bokhylla för matteböcker, men inte en enda i just det här ämnet är på svenska. En sista anledning till divergens är att matematiker och fysiker har varsitt att angripa matematiken där man ibland formulerar sig olika. Asymptotisks serier är tex främst ett fält för fysiker och tekniker. Inte för att matematiker inte sysslar med det, utan för att de inte kan ta de genvägar fysikerna tillåter sig ta. 213.112.54.246 8 maj 2024 kl. 11.50 (CEST)

Vi har definierat vår målgrupp för texter till kunniga 15-16 åringar. OCH för dem är NE och Su typiska och föredömlig källor (om än något för avancerade), även för texter i Wikipedia. VI skall inte ha texter anpassade till akademiker Yger (diskussion) 8 maj 2024 kl. 12.05 (CEST)

Då blir den här artikeln närmast löjligt begränsad. I så fall, no further questions, your honor! 213.112.54.246 8 maj 2024 kl. 13.00 (CEST)

Summa av en talföjld

Kommentar till Andejons:s: Ordet 'serie' kan står för (1) en summa av en talföljd , (2) en talföljd (version 8 maj).
A. Det finns ingen källa för en summa av en talföljd i EN, Su, NEO, SAOL, SO.
B. En summa av en talföljd är en tal igen (se artikels andra meningen: Om termerna … kan summan av en serie vara ändlig, …). Men . . . ett tal kan inte vara konvergent/divergent. Och ett tal har ingen termer, delsummor, summa.

Till Andejons: summation är en nödvändig del av definitionen (sammanfattning version 8 maj).
C. Det är visserligen en nära relation mellan ordet 'serie' och summation. Denna relation kan beskrivas som i (källorna till) konceptet 8 maj.

Jag tar bort en del av artikelns första meningen eftersom den saknar källor. Hesselp (diskussion) 9 maj 2024 kl. 21.50 (CEST)

Din definition är fel. En serie är inte en talföljd, utan en talföljd man tänker summera. NE skriver t.ex. "serie, matematisk följd av termer som adderas" (min kursiv). Svensk uppslagsbok stämmer inte med modern terminologi.

andejons (diskussion) 10 maj 2024 kl. 00.02 (CEST)

Till Andejons. "en talföljd man tänker summera." Ja, precis! Vi kommer mycket nära, tror jag. Prismas: en talföljd vars tal summeras, och Bishops: A sequence which is meant to be summed is called a series. (version 1 maj), säger (nästan?) detsamma. Men jag ser risken att denna citat kan (kan!) tolkas fel. För hur kan jag se om talföljden 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . är (= kan nämnts med ordet 'serie') "en talföljd vars tal summeras"? . Denna risk är mindre(borta?) med formuleringerna av Vessiot . . . Keisler (utan Bishop), Disk. 19 april. Och med min version 1 maj och koncept 5 maj, med tilläg 7 maj 8 maj.

Vad tror du av : "En oändligt talföljd är allmänt (vanligtvis?, ofta?) nämnt serie, när man undersöker egenskap av följdens delsummor och i kontexter där delsummors gränsvärde är relevant." (koncept 10 maj) ?

Din "en summerad talföljd" (version 10 maj 12:28) är betydligt sämre, tycker jag. Se den allra första raderna av denna Discussions-sida (14 januari 2023). Ska sekvensen 1, 1.1, 1.11, 1.111, ... = 1, 1+1/10, (1+1/10)+1/100, ... få namnet 'talföljd' eller 'serie' ? Hesselp (diskussion) 10 maj 2024 kl. 16.07 (CEST)

Inledningsraden är bra nu, och följer helt de två källorna och bör ej ändras. Något kan tillfogas avseende summa, men bara med ytterligare någon orda till det som nu står Yger (diskussion) 10 maj 2024 kl. 17.28 (CEST)

Till Yger: Det är svårt att se att "en summerad talföljd" får stöd av källorna:

- NE: matematisk följd av termer som adderas.

- Su: en följd av termer.

- SO och SAOL: följd av tal som man betraktar med av­sikt att summera dem

- Prisma: en talföljd vars tal summeras

- Cauchy tom. Keisler (se Disk. 1 maj).

Ordet "summerad" antyder något angående konstruktionen /ursprunget av fjöldens termer. Medan alla nämnda källor (utan Su) säger något om vad man vill göra med följden.

Kan @Andejons: skriva vad han menar med "en summerad talföljd"?

Kan någon argumentera varför ovanståande källor stöder "en summerad talföljd" mera än "En oändligt talföljd är allmänt nämnt serie, när man undersöker egenskap av följdens delSUMMOR ... ?

Är det inte så att i Wikipedia argumenter skulle ha mera vikt än ukaser? Hesselp (diskussion) 11 maj 2024 kl. 00.42 (CEST)

Prisma från 1989 skriver en talföljd vars tal summeras, Norstedt uppslagbok 1962 en rad termer, vilka i obegränsad följd efter varandra kan beräknas enligt ett bestämt räkneschema. Även om de källorna är svagare än NE och Su stöder dessa inte heller att serie kan avse ett tal (=summan). Yger (diskussion) 10 maj 2024 kl. 07.39 (CEST)

Till Yger. Tack för citat från Prisma och Norstedt. Bitte, kan du ge fullständiga titlar, och sidnummer? - (Vad Norstedt säger efter 'en rad termer' är adakadabra, för mig.)

Jag förstår inte din "att serie kan avse ett tal (=summan)". Har jag skrivit något sånt? I artikelns andra mening säger ordet 'ändlig' något om talet som är nämnt här: 'summan av en serie'.

Till din "som kan summeras" i artikeln. Man kan läsa detta som:

(1) "följdens delsummor är definierat". . . . Men det står 'talföljd' istället av 'följd', så sina delsummor är automatiskt definierats.

(2) "följdens delsummor har en ändligt gränsvärd". . . . Men i så fall är följden nämnt 'konvergent serie', inte 'serie'.

Så "som kan summeras" ska inte vara här. Hesselp (diskussion) 10 maj 2024 kl. 16.15 (CEST)

Jag tycker inte de bör användas som källor, de är svagare än NE och SU (och det står inte mycket mer än jag anger) Yger (diskussion) 10 maj 2024 kl. 17.26 (CEST)

Jag har inte tillgång till min litteratur, men jag är tämligen säker på att så är fallet. Jämför t.ex. terminologin på danska, tyska och norska (grundordet är visserligen för alla dessa "räcka", men det är likafullt inte något man förväntar sig vara en summa).

andejons (diskussion) 10 maj 2024 kl. 12.27 (CEST)

"summerad" talföljd

Att skriva Summerad på det sättet stämmer ej med källor som visas ovan. och jag har ogjort det. Jag är öppen att det på annat sätt går föra in att termerna ofta summeras, som NEs "som adderas". Yger (diskussion) 11 maj 2024 kl. 02.08 (CEST)

Nej, att inte ha med summation är det som inte stöds. NE: "matematisk följd av termer som adderas". Prisma: "en talföljd vars tal summeras".

andejons (diskussion) 11 maj 2024 kl. 10.03 (CEST)

JA jag är inte emot någon av de fomeuleringarna, men det som står är dförenligt med det du fört in Sumemrad talföljd Yger (diskussion) 11 maj 2024 kl. 10.08 (CEST)

Nej, det är vad du skriver som inte stämmer. a_n=n är en talföljd. Det kommer inte bli en serie förrän man skriver ett summationstecken: Σ_na_n.

andejons (diskussion) 11 maj 2024 kl. 10.13 (CEST)

Ta bort det då och för in exakt vad NE skriver eller prisma. Men inte "summerad" talföljd vilket begrepp inte återfinns i någon källa Yger (diskussion) 11 maj 2024 kl. 10.24 (CEST)

OCh texten du lagt in u är ju OK Yger (diskussion) 11 maj 2024 kl. 10.25 (CEST)

Den är bättre än utan summering, men den är fortfarande fel. T.ex. skriver enwp: "In modern terminology, any (ordered) infinite sequence [...] of terms [...] defines a series, which is the operation of adding the ai one after the other." Serien är inte talföljden, serien är summationen av talföljden Σ_na_n.

andejons (diskussion) 11 maj 2024 kl. 12.37 (CEST)

Nu är det bra och i enlighet med de svenska källor vi använder. Vi kan inte utan vidare använda källor från andra språk då vi inte vet om det stämeer på svenska. Yger (diskussion) 11 maj 2024 kl. 13.24 (CEST)

Koncept 12 maj

Argument för ändringar
12-1 - Det verkar som om vi är överens (?) om att 'serie' och 'följd' är namn för samma matematiska begrepp/koncept; där namnen "serie" används när det gäller att summera/addera termerna. (Så "följd av termer som adderas" är bättre än "en summerad talföljd".)
12-2 - Jag vill påpeka att 'addera' här skiljer sig från det man lär sig i grundskolan (bara heltal och bråk). För ofta handlar det om irrationella tal. Man kan inte 'addera' eller 'beräkna' ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+\cdots$ på vanligt sätt. Därför talar man hellre om 'delsummor' (av följdens termer) än om 'termer som adderas' eller om 'summering'/'addition' (SO: räkneoperation som inne­bär att olika talvärden räknas samman till en summa.)
12-3 - Om "att den konvergerar" i artikeln. Hänvisar ordet 'den' till 'termerna' eller till 'en serie' ? I varje fall måste förklaras att betydelse av ordet 'konvergent' beror på valet av namnet "följd" eller namnet "serie" för en viss sekvens. (Ändlig gränsvärd av termer, mot ändlig gränsvärd av delsummor.) Som nu saknas i artikeln.
12-4 - I mitt bidrag 8 maj förklarade jag varför jag vill lämna några delar (se f, g, h, i, k).
12-5 - Om "sällan ändlig". Det passar inte i första raden av konseptet. Man kan hitta mycket mycket mera om ordet 'serie', i praktiken och i uppslagsverk, men det betyder inte att allt måste nämnas i artikeln.
12-6 - Det finns flera (många?) källor som säger att en oändlig summering/summa inte ska heta 'summering/summa' (för: en oändlig summering är inte associativ, m.m.). Därför inte "summa" men "delsummens gränsvärde".
12-7 - Antalet källor i koncepttexten behöver minskas. Av de svenska citaten bör NEO/SO nämnas i alla fall.

Text (koncept) 12 maj
En oändligt talföljd är vanligtvis nämnt serie när man undersöker egenskap av följdens delsummor och i kontexter där delsummors gränsvärde är relevant. I samband met namnet 'serie' behåller orden konvergent och divergent sin gamla betydelse (sedan Cauchy, 1821) : existens eller ej av delsummens ändliga gränsvärde. När en följd (a_k) kallas 'serie' är det vanlig at notera följden med plustecken mellan termer, eller med sigma-tecken :
$\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \quad$ eller $\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}+\cdots \quad$ eller $\quad$Σ$a_{k}$ .
Följaktligen förekommer kombinationer
- bara med 'serie': taylorserie, fourierserie, potensserie, serieutveckling ;
- bara med 'följd': cauchyföljd, fibonacciföljd, ändlig följd, aritmetisk följd, periodisk följd ;
- med 'följd' och med 'serie': alternerand ..., harmonisk ..., geometrisk ..., oändlig ..., cauchyprodukt av två ... .

Det finns serier vars delsummor inte har en ändlig gränsvärde, men för vilka ett slags gränsvärde definieras på annat sätt. Bland dessa kan nämnas Cesàrosummering, Abelsummering och Borelsummering.

Se även . Fourierserie, Teleskoperande serie, Harmoniska serien, Potensserie

Referenser och noter Ett urval från:
- Su . Svensk uppslagsbok band 25, 1953, sid. 892
Serie: Matem., en följd av termer a₁, a₂ . . . a_n (a_n kallas s:s allmänna term).
- NE . Nationalencyklopedin band 16, 1995, sid 378
Serie: matematisk följd av termer som adderas. Vanligen är antalet termer oändligt.
- NEO . Nationalencyklopediens ordbok, 1995/96, 2004, och
- SO . Svensk ordbok utgiven av Svenska Akademien, 1:a uppl. 2009, 2:a uppl. 2021, [4]
Serie: följd av tal som man betraktar med avsikt att summera dem.
- SAOL . Svenska Akademiens ordlista, 2015, [5]
Serie: oavbruten följd
- Prismas stora uppslagsbok
Serie: en talföljd vars tal summeras
- (som i version 1 maj) Cauchy, Vessiot/Montel, Bieberbach, Wijdenes, Quadling, Bishop , Bishop/Bridges, Hoffman, Keisler.

Vidare läsning

• Persson, Arne; Böiers Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2. uppl.). Lund: Studentlitteratur. Libris 8353145. ISBN 9144020562 
• Spanne, Sven (2005). System och transformer. I, Tidsdiskreta lineära system och komplex analys. Lund: Matematikcentrum, Lunds tekniska högskola. Libris 10303365 

Mall: Serier och följder . Kategorier: Matematiska serier| Matematisk analys Hesselp (diskussion) 12 maj 2024 kl. 13.20 (CEST)

Ett problem är att det inte finns bara en matematisk definition av vad en serie är. Det görs på lite olika sätt i olika källor. Persson & Böijers (som nämns ovan) bilder följden av delsummor (s_n) och säger att denna konstruktion kallas en serie. Wahlström&Widstrands Matematiklexikon säger att mer formellt kan serie definieras som ett par av följderna (a_n) och (s_n), deras informella inledande förklaring är "en serie erhålls när elementen i en talföljd successivt adderas". På andras ställen finns andra varianter av definitioner. Sedan använder alla summatecken för att representera sina serier och alla definierar konvergens på samma sätt med gränsvärden av delsummorna. Det fungerar oavsett den exakta definitionen av serie så länge den baseras på en följd som man kan skapa delsummor från. Därför kan det vara svårt att skriva en enkel inledning som ingen kommer invända mot att den inte är matematiskt riktig. Bättre då att som engelska wp i inledningen stoppa in ett "roughly speaking" och nåt om att det representerar att addera oändligt antal termer. Sedan kan mer exakt matematik komma längre ned i artikeln med gränsvärden för definitioner av seriers konvergens och summor. 90.227.175.218 12 maj 2024 kl. 22.29 (CEST)

Användare 90.227.175.218. Svar på ditt bidrag "Ett problem är ..." (12 maj 2024 kl. 22:29).

- Du börjar med att skriva att problemet är "att det finns bara en matematisk definition av vad en serie är.". Är det inte bättre att säga att din tre exempel ("denna konstruktion kallas ...", "ett par av följderna ...", "en serie erhålls när ...") är adakadabra och inte alls kan sett som matematiska definitioner?

- Enligt mej är en definition 'matematiskt riktig' när den beskriver hur en läsare ska/kan interpretera detta ord när det förekommer i en matematisk text. Mera 'riktig' kan det inte vara. Menar du något annat med matematiskt riktig?

- Sista frågan. Hur kan 'seriers konvergens och summa' definieras mer exakt, om betydelse av ordet 'serie' inte har beskrivits tidigare? Hesselp (diskussion) 13 maj 2024 kl. 01.18 (CEST)

stöder ej detta förslag. Krånglig svenska och inge anledning frångå hur källorna furmulerar detta Yger (diskussion) 13 maj 2024 kl. 05.18 (CEST)

Till Yger. Kan du påpeka var Konseptet 12 maj är krångligt formulerad, och föreslå förbättringar? Då blir det lättare att diskutera innehållet.

Anledning att jag ser källorna som kommer nära min (Hesselps) första mening i Koncept 12 maj, är mer trovärdiga än källorna som kommer nära din (Ygers) första mening i version 13 maj (kl. 06:02), är, att sistnämnda källor inte säger hur man kan veta om en talföljd (t.e. harmoniska följden) är "avsedd för summering" eller inte.

Frasen "en talföljd avsedd för summering" är inte krångligt men obegripligt svenska. Så olämpligt (SO: som illa motsvarar omständigheternas krav) för Wikipedia. Hesselp (diskussion) 13 maj 2024 kl. 16.44 (CEST)

Nej för texten nu är i det närmaste exakt vad som står i källorna. Ingen anledning skapa andra skrivningar (som dessutom är mer svårförståelig) Yger (diskussion) 13 maj 2024 kl. 16.50 (CEST)

Till Yger. – (16-1) Om "närmaste exakt vad som står i källorna". Källorna i version 13 maj är ofullständiga. Det är sant att det handlar om en addering (fastän summan av irrationella tal erhålls inte genom normal addition) när en följd nämns 'serie'. Men den säger inte hur man kan veta om en talföljd (t.e. harmoniska följden) är "avsedd för summering/addering" eller inte. Och den säger inte heller hur man kan veta om konvergent serie står för existens av ett ändligt gränsvärd av delsummor eller av termer. Det finns bättre källor, som beskriver mera komplett var ordet 'serie' står för i praktiken.

- (16-2) Om "mer svårförståelig". Var i Koncept 13 maj är texten 'mer svårförståelig' ? Tvärtom: i version 13 maj är meningerna med "uttryck som beror på ordningstalet", "uttrycks med trigonometriska funktioner", "Exempel på serie är Taylorutvecklingen" och "analytisk fortsättning" inte förståelig, eller fel. Hesselp (diskussion) 16 maj 2024 kl. 20.16 (CEST)

Din text ger LIX 55 =svår, den text som nu ligger ger LIX 38 =lättläst. Yger (diskussion) 17 maj 2024 kl. 07.09 (CEST)

Och adakadabra-nivån av Ygers meningerna med "uttryck som beror på ordningstalet", "uttrycks med trigonometriska funktioner", "Exempel på serie är Taylorutvecklingen" och "analytisk fortsättning", är maximal. Se Disk. 5 maj 2024 "Kommentar till version 2 maj" f, h, i, k. Hesselp (diskussion) 18 maj 2024 kl. 13.28 (CEST)

Även om jag håller med om i stort sett allt som du skrivit har jag svårt att förstå vari förslaget ligger. /ℇsquilo 13 maj 2024 kl. 08.50 (CEST)

Till Esquilo. Tack för dina positiva ord. Jag förstår inte vad du menar med "vari förslaget ligger", kan du säga något mer om det? Hjälper det att jämföra Koncept 12 maj med ovenstående Koncept 5 maj/8maj ? Hesselp (diskussion) 13 maj 2024 kl. 16.49 (CEST)

WANTED: exempel på en oändlig talföljd avsedd för summering

Fråga 1. Vem kan säga om talföljden 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . . är en talföljd avsedd för summering?
Fråga 2. Vem föredrar version Yger [6] och vem föredrar den kombinerade versionen Hesselp/Yger [7] ?
Inom en halvtimme efter placering av den kombinerade versionen skrev Yger som motivering på Hesselps diskussionssida:

Och nu får du sluta byta ut till en version som inte har stöd av någon mer än du. Att någon sagt det som står är rimligt i sig är inte samma sak som att den texten är lämpligt förs in i stället för den som nu ligger. Yger (diskussion) 16 maj 2024 kl. 20.47 (CEST)

Hesselp (diskussion) 18 maj 2024 kl. 13.31 (CEST)

Förhoppningsvis sista återkopplingen till Hesselps versioner

Det finns grundläggande krav på wp artiklar

• De skall skriva rakt på vad det ÄR. Nuvarande version uppfyller detta en serie är en talföljd. Texten En oändligt talföljd är vanligtvis nämnt "serie när man undersöker egenskap av följdens delsummor och i kontexter där delsummors gränsvärde är relevant." är alls inte rakt fram
• text skall baseras på goda lämpliga källor. För artiklar om matematik på grundnivå (det som läses tom grundexamen på universitet) är NE den bästa källan, den är relativt sen och är kompetent inom matematik. NE skriver matematisk följd av termer ett uttrycks som sedan backas upp av källorna Prisma 1989 (sen) "en talföljd" och SU 1953 (kompetent) en följd av termer. Det finns inget skäl frångå denna formulering. Denna inledning följs sedan av "som adderas" i NE och "vars tal summeras" i Prisma. Andejons har valt att formulera om dessa till "avsedd för summering" vilket jag ser som en rimlig omskrivning med precis samma innebörd
• vara förståelig av 15-16 åringar som lyckats med sina studier. Den nuvarande ger LIX 38, lättläst, strax över gränsen 35 för text i barnböcker, vilket är mycket önskvärt. Den förslagna ger LIX 55, svår, vilket är direkt olämplig i en inledning/ingress

Den nuvarande texten ar framarbetet i samspel mellan Andejons och mig, och har alltså rent konkret gillande av oss två, vi båda mycket erfarna wikipedianer och akademiker. Jag har medvetet avstått från att efterfråga fler personer synpunkter, då det hela för mig är fullständigt självklart. Och jag kommer inte acceptera någon icke-trivial ändring som inte först har förankrats av ett flertal här på diskussionssidan Och det är naturligtvis som alltid öppet till mindre puts av nuvarande text Yger (diskussion) 18 maj 2024 kl. 13.59 (CEST)

Till Yger. – (1) Om: "rakt på / rakt fram". Du har rätt: min första mening är inte kort. Jag kan ändra det till:

"En oändlig talföljd kallas ofta för en serie. Särskilt när man undersöker egenskaperna av följdens delsummor . . . relevant." , eller

"Serie är det traditionella namnet för en oändlig talföljd ^{[källa Cauchy 1821]}. Numera används detta namn endast när man . . . relevant."

- (2) Om: "lämpliga källor". Inget uppslagsverk är ofelbart i alla detaljer. Med Prismas: "serie: en talföljd vars tal adderas" kan ingen avgöra om en given talföljd är "avsedd för summering" eller inte. Sådana källor är också olämpliga för 15-16-åringar. I denna situation är det önskvärt att förlita sig på källor som bättre återspeglar hur ordet 'serie' används i praktiken. Sorry, Yger, mina slutsatser skiljer sig från dina. Hesselp (diskussion) 20 maj 2024 kl. 12.50 (CEST)

Det är OK att dina slutsatser skiljer sig från Ygers. Du kan mycket väl ha rätt i sak i det matematiska. Men minst en av de artikelversioner du publicerat känns inte som encyklopediskt vettiga, utan som något betydligt mer nischat. -Tournesol (diskussion) 20 maj 2024 kl. 13.42 (CEST) 1 januari 2001 kl. 00.00 (CET)(Signatur tillagd i efterhand av Anhn.)

Versionen med "En serie är en talföljd avsedd för summering" kan absolut inte ses som 'encyklopediskt vettiga': det verkar att ingen kan säga om en given följd är en serie (är avsedd för summering) eller inte. Det beror på kontexten/sammanhanget, se den andra versionen. Hesselp (diskussion) 22 maj 2024 kl. 23.03 (CEST)

"Rör inte det som fungerar" ... artikeln har rimlig utformning och formuleringar, jag ser inga behov av de förändringar som föreslagits av Hesselp / ANHN ✎ 20 maj 2024 kl. 15.55 (CEST)

Om: "Det som fungerar" . Är det sant? Kan du säga om en given talföljd (t.e. (1/n) ) är en serie? (är avsedd för summering?) Hesselp (diskussion) 22 maj 2024 kl. 23.11 (CEST)

Håller med att de förslagna ändringarn inte behövs. De krånglar till mer än de förtydligar. En sak som skulle kunna läggas till är att serier skrivs med plustecken "a1+a2+a3+..." eller med summatecken "Σan" (kan säkert göras bättre med math-kod). Plustecknen borde göra det göra det tydligt att serier (avses) summeras. Även ett eget avsnitt med mer formella definitioner skulle vara bra efter den förenklade inledningen. Det fanns fram till slutet av april, lix 48 medelsvår normal tidningstext. 90.227.175.218 20 maj 2024 kl. 19.31 (CEST)

Om: "inte behövs" . Kan du säga om en given talföljd (t.e. (1/n)) är en serie? (är avsedd för summering?). Den nuvarande definitionen är meningslös. Hesselp (diskussion) 22 maj 2024 kl. 23.26 (CEST)

En hel del serier har alternerande plus och minustecken, 1/2-1/3+1/4-1/5... tex. Med summatecken kan man (ofta) lösa det med (-1)^n. Begränsar du diskussionen för serier till grundkursen på högskola, får du inte med kopplingen till konvergensradien eller irrationella tal, inte helt oviktiga begrepp. En viktig gren av serier är man kan ha serier av andra saker än tal. Det är något du egentligen behöver för få en korrekt bild av det du lär på första årets analyskurser. De flesta som läser naturvetenskap eller teknik behöver dock inte få en korrekt bild, för matte är inte deras grej. 213.112.54.246 20 maj 2024 kl. 19.57 (CEST)

Ingressen skall vara enkel och utgå från vad som står i de basala källorna, så det du skriver passar inte in där. Sedan går det alltid lägga in nya avsnitt, men är det värt det? Yger (diskussion) 20 maj 2024 kl. 20.14 (CEST)

Om: "skall vara enkel". . Är 'summan av en serie (talföljd avsedd för summering)' (version Yger) enklare än 'delsummor' och 'gränsvärde' (version Hesselp) ? Nej. Även basala källor är inte alltid förståelig. Hesselp (diskussion) 22 maj 2024 kl. 23.36 (CEST)

Har kunskap något värde, tja det var en intressant fråga att ställa på ett fora som detta!

Ett problem jag märker är att talangfulla elever upptäcker magin i p-q-formeln för andragradsekvationen och blir lite smått förälskade i den. Jag förstår fascinationen, men det leder in mer än en student på ett villospår. Därför finns det ett värde i att presentera även mer esoterism i artiklarna. Men det bör göras med en finess vi sällan ser här.

Ofullständighetssatsen visar att matematiken är ett korthus. Presentera den som något annat är att vilseleda eleverna. Det finns mer än ett sätt att angripa serier och jag tycker av nämnda skäl att det är av värde att presentera ett urval av dem, även om det går över huvudet på de flesta förstaårsstudenterna. 213.112.54.246 21 maj 2024 kl. 08.56 (CEST)

Om: "ett urval av sätt att angripa serier" . Version Hesselp har två: Cauchys och NEs. Hesselp (diskussion) 22 maj 2024 kl. 23.45 (CEST)

Men inte i ingressen, och då i "överkurs"avsnitt som behöver väl källbeläggas Yger (diskussion) 21 maj 2024 kl. 09.13 (CEST)

Emot version 20 maj 2024

De invändningar som nämns i "Kommentar till version 2 maj" (Disk. 8 maj, utan a. och b.), gäller även för Larskes version 20 maj. De har inte motsagts av någon (punkt i. diskuterades).
Yger skriver att hans text bygger på källor på punkterna c., f., h., k. Önskan om att visa dessa källor (med relevanta citat) förblir obesvarad.

Viktigast är att: NO ONE has shown to be able to decide whether or not a given sequence IS a series. So there is no support at all in favour of a version with "som adderas" as a condition for a sequence.
"Avsedd för summering" ("som adderas") is not a condition for a sequence, but refers to a convention for someone who writes/talks about a sequence. The convention to choose the traditional name 'series' instead of the younger 'sequence', in case of the intention to consider its partial sums. And to use the notation with pluses or sigma, and to use 'convergent' for clustering partial sums. See sources Vessiot up to Keisler.

WP:s artikel bör inte nästan blint kopiera NE:s "series = sequence of terms that add up", utan tolka den, baserat på andra källor. (SO: tolka = utläsa och i ord uttrycka (egentlig) innebörd av något som är uttryckt i dunkla el. mångtydiga ord el. på annat svårbegripligt sätt) . Nationalencyklopedien är inte ofelbar.
Däremot skriver Yger (Disk. 13 maj) "ingen anledning frångå hur källorna formulerar detta" . Hesselp (diskussion) 3 juni 2024 kl. 16.23 (CEST)

Om version 3 juni 2024

Version 3 juni skiljer sig från Hesselps tidigare versionen/koncepter i följande avseenden:

• Kommer nära Andejons's "En serie är inte en talföljd, utan en talföljd man TÄNKER summera." (Disk. 10 maj)
  
• Kommer nära NEOs och SOs: "följd av tal som man BETRAKTAR med avsikt att summera dem."
  
• Anpassad till Ygers: "De [wp artiklar] skall skriva rakt på vad det ÄR." (Disk. 18 maj)
  
• Anpassad till Ygers: . "Artikleln skall […] inte filosofera vad som är tradionellt och hur synsättet ändrats över tiden" (Disk. 5 maj)
  
• Förbättring med hänsyn till Tournesols "[möjligen version 9 maj] känns inte som encyklopediskt vettiga" (Disk. 20 maj)
  
• Ingen "’’ändlig’’ följd /serie" direkt i första raden. Inom analysen är antalet termer alltid oändligt.
  

Version 3 juni stöder:

• Ygers invändning mot "[delsummor] bildar en serie". Yger skrev i sammanfattning Art. 20 maj: "det är ju en oklar fråga om summan är en serie".
• Användare 90.227.175.218:s "serier skrivs med plustecken eller med summatecken" (Disk. 20 maj). . [ Version 20 maj har uttryck $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1^{n}}{n!}}$ och ${\frac {1^{0}}{0!}}+{\frac {1^{1}}{1!}}+{\frac {1^{2}}{2!}}+{\frac {1^{3}}{3!}}+{\frac {1^{4}}{4!}}+\cdot \cdot \cdot$ för TALET e, inte för en FÖLJD eller SERIE. . Så detta exempel passar inte in i artikeln.]
• Vessiots, Montels, Bieberbachs, ..., Keislers akttagelse att ordet 'serie' i texter om analys inte anger en viss typ av följd (en talföljd avsedd för summering), utan en annan (Cauchys) betydelse av 'konvergent' och ett annat sätt att notera en följd. Hesselp (diskussion) 3 juni 2024 kl. 16.26 (CEST)

Om version Andejons 3 juni 2024

@Andejons: Nio frågor.

Andejons: En serie är inom matematiken en summa av ett oändligt antal termer (Artikeln Summa: "Summa kallas resultatet av en addition".)
Hesselp: Så 'summa' står för RESULTATET AV EN ADDITION = för ett TAL ett TAL eller en FUNKTION ?-1

A: Om termerna närmar sig noll tillräckligt fort kan summan av en serie vara ändlig,
H: kan SUMMAN av EN SERIE vara ändlig = kan SUMMAN (TALET) av EN SUMMA (ETT TAL) SUMMAN (TALET eller FUNKTIONEN) av EN SUMMA (ETT TAL eller en FUNKTION) vara ändlig ?-2

A: Man säger då att den konvergerar.
H: DEN konvergerar = EN SERIE konvergerar = EN SUMMA konvergerar = ETT TAL ETT TAL eller EN FUNKTION konvergerar ?-3

A: Termerna i serien utgörs oftast av olika typer av matematiska uttryck som beror på ordningstalet i serien.
H: Adakadabra. Kan källan visas ?-4 Med kontexten. (Se: Kommentar till version 2 maj, sektion f. – Disk 8 maj)
Kanske det är svenska för Cauchys: On appelle série une suite indéfinie de quantités qui dérive les unes des autres SUIVANT UNE LOI DÉTERMINÉE.

A: En series värde definieras som . . .
H: EN SERIES värde = EN SUMMANS värde = ETT TALS ETT TALS eller EN FUNKTIONS värde ?-5

A: gränsvärdet av ett antal delsummor.
H: Förvirrande; "gränsvärdet av delsummorna" eller "gränsvärdet av delsummorföljden" räcker. ?-6

A: Ett exempel är talföljden a_n […] att den tillhörande serien därmed konvergerar
H: att den TILLHÖRANDE SERIEN därmed konvergerar =
att den TILL FÖLJDEN a_n TILLHÖRANDE FÖLJD AV DELSUMMOR därmed konvergerar =
att den tillhörande FÖLJDEN AV DELSUMMOR därmed konvergerar =
att den tillhörande DELSUMMORFÖLJDEN därmed konvergerar.
Så 'serie' = 'delsummorföljd' ?-7

A: Det finns serier som är divergenta […] definitioner av en series summa.
H: definitioner av en SUMMAS SUMMA ?-8

A: Även analytisk fortsättning kan användas för att tilldela serier summor.
H: att tilldela SUMMOR SUMMOR ?-9 (Se: Kommentar till version 2 maj, sektion k. – Disk 8 maj)

Alternativ Vessiot, Montel, Bieberbach, Wijdenes, Quadling, Hoffman, Keisler har sett hur användningen av ordet 'serie' i analysen kan beskrivas enkelt; se version 3 juni kl: 16:28 Hesselp (diskussion) 5 juni 2024 kl. 12.42 (CEST)

Modifierad (termerna i en serie är tal eller funktioner, enligt Andejons 9 juni) Hesselp (diskussion) 10 juni 2024 kl. 21.54 (CEST)

Källor! @Tournesol: Kan du visa tillförlitliga källor här med: serie (= summa) = resultatet av en addition (version Tournesol/Andejons)? Med relevanta citat. Signering tyvärr försenad. Hesselp (diskussion) 12 juni 2024 kl. 17.19 (CEST)

Samma fråga till @Yger, Esquilo, Larske, Andejons, Anhn: ~~ Hesselp (diskussion) 12 juni 2024 kl. 22.20 (CEST)

Artikeln har redan tillförlitliga källor. Att en serie är en oändlig summa står även i i alla fall några av de källor du anför. Problemet är att du inte har begreppen klara för dig, och tror att saker är problematiska när de inte är det.

andejons (diskussion) 12 juni 2024 kl. 23.24 (CEST)

@Andejons: Tack för din reaktion. (1) Till din "redan tillförlitliga källor". Please, visa citat från dessa källor som stödjer Artikelns 'en serie = en summa av ett oändligt antal termer = resultatet av en addition'.

(2) Till din "några av de källor". Visa citat från dessa källor med 'en serie är en oändlig summa'.

(3) Till din "problematiska när de inte är". Du tycker inte att "summan av en serie" (Art. rad 2) = "summan av en summa av en oändligt antal termer" (Art. rad 1) är problematisk för läsarna? ~~ Hesselp (diskussion) 13 juni 2024 kl. 22.41 (CEST)

Jag svarar enbart för att jag blivit inpingad, och upprepar mitt inlägg från 20 maj 2024 - "Rör inte det som fungerar". Hesselp har hittills gjort 109 redigeringar på svwp, där, vad jag förstår, _samtliga_ på olika sätt avser Serie (matematik). Jag vädjar till Hesselp att vidga sina vyer och pröva på enklare redigeringar av andra artiklar, då den nuvarande fokuseringen helt enkelt inte är konstruktiv. / ANHN ✎ 12 juni 2024 kl. 23.42 (CEST)

@Anhn: Tack för din reaktion. Men jag ser ingen anledning att förvänta mig att andra ämnen skulle vara mer öppna för en substantiell/saklig - mera konstruktiv - diskussion. Tyvärr.

Om din "Rör inte det som fungerar". Hur kan du säga att 'det fungerar', när ingen förstå hur 'en summa av ett oändligt antal termer' (= en summa av en oändlig följd) = resultatet av en addition = ett tal eller en funktion, kan konvergera. Intuitivt följer man synvinkeln av Cauchy och Vessiot tom. Keisler. ~~ Hesselp (diskussion) 13 juni 2024 kl. 22.47 (CEST)

Det kommer inte bli en serie förrän man skriver ett summationstecken: Σ_na_n

@Andejons: Detta har du skrivit här 11 maj kl. 10:13. Jag återkommer till det nu.
Parafraserad kan det bli: "En talföljd BLIR en serie när JAG NOTERAR följden med summationstecken." Korrekt?
Jag tror inte att jag kan förvandla en följd till en serie (ett annat matematiskt objekt), genom användning av sigma-tecken för följden. Men en allmän konvention innehåller att jag ska använda namnet 'serie' istället av namnet 'följd' när jag tänker att betrakta (och skriver om, eller talar om) földens delsummor, eller situationer där delsummors gränsvärde är relevant.
Och samma konvention säger att, i så fall, notera följden med plus-tecken eller sigma-tecken, och att använda 'konvergent' för clustering (på svenska?) av följdens delsummorna.
Kan du (delvis?) hålla med om ovanstående? Hesselp (diskussion) 6 juni 2024 kl. 22.29 (CEST)

En serie är en summa. En summa är resultatet av addition, vilket inte behöver vara ett tal - det kan till exempel vara en funktion. En serie är däremot inte en talföljd.

andejons (diskussion) 9 juni 2024 kl. 18.34 (CEST)

@Andejons: Tack för din kommentar. (1). Du har rätt: 'min' version börjar med "I matematiken (analys) står serie för en oändlig följd av tal." Jag tror inte att det är i sig osant, men det är inte hela sanningen. Det är därför jag senare kommer med "Namnet 'serie' används också för vilken följd som helst, ändlig eller oändlig, med elementer som är tal eller inte. En potensserie har potensfunktioner $a_{n}x^{n}$ som element, en fourierserie funktioner $a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)$.
Är det korrekt eller inte, enligt dig?

(2). Du hållar med om att man kan inte förvandla en följd till en serie (ett annat matematiskt objekt), genom användning av sigma-tecken för följden ? Hesselp (diskussion) 9 juni 2024 kl. 23.50 (CEST)

Det kanske ligger någonting i invändningen att en serie inte är en summa, även om det inte är skäl att ändra hela artikeln till en krångligare text. De källor jag har lätttillgängliga är överens om att för en konvergent serie är delsummornas gränsvärde seriens summa. Kanske bättre att säga att en serie är addition av ett oändligt antal termer. Jämför a+b är en addition av två termer, som har en summa.2001:2042:33FA:DA00:6550:A7CC:3B6:C510 9 juni 2024 kl. 20.01 (CEST)

Noter

Din "en serie är addition av ett oändligt antal termer" är adakadabra för mig. (1) hur adderar jag ett oändligt antal termer ? . (2) hur adderar jag även ett ändligt antal irrationella termer? Hesselp (diskussion) 9 juni 2024 kl. 23.59 (CEST)

Det är just det att summering av ett oändligt antal termer inte är uppenbart som gör begreppet "serie" intressant. Det behövs inget särskilt begrepp för "addition av tusen termer", eftersom det följer direkt på reglerna för summering av tre termer.

Vad gäller summering av irrationella tal behöver det inte nödvändigtvis finnas en kortare form. Man kan inte skriva e+π kortare än just e+π.

andejons (diskussion) 10 juni 2024 kl. 10.09 (CEST)

Till Andejons. Förstår jag det rätt att du inte stöder förslaget av användare 2001:2042...? (att definiera 'serie' i Artikeln som "addition av ett oändligt antal termer")

I stället för dina "summering av ett oändligt antal termer är inte uppenbart" skulle det vara bättre att säga att summering (eller addition) av ett oändligt antal termer är omöjligt i allmänhet. Ja? För (det så kallade) 'addera' följden 1/sqrt(n) (n=1, 2, ...) innebär inget annat än att leta efter (mestadels rationella) tal i närheten av (det så kallade) 'summan' av följden.

Jag har modifierad mitt bidrag 5 juni och 7 juni. Konsensen om version Tournesol-Andejons förblir oförändrad: baserat på denna version kan INGEN säga om en serie (= ett tal, en funktion) konvergerar eller inte. Hesselp (diskussion) 10 juni 2024 kl. 22.17 (CEST)

Versionen Tournesol/Andejons saknar källor för: "serie = en summa av ett oändligt antal termer"

@Andejons, Tournesol: På Andejons (Disk. 12 juni 2024 kl. 23.24)

"Artikeln har redan tillförlitliga källor. Att en serie är en oändlig summa står även i alla fall några av de källor du anför. Problemet är att du inte har begreppen klara för dig, och tror att saker är problematiska när de inte är det."

svarade jag med tre frågor (Disk. 13 juni 2024 kl. 22:41)

(1) Till din "redan tillförlitliga källor". Please, visa citat från dessa källor som stödjer Artikelns 'en serie = en summa av ett oändligt antal termer = resultatet av en addition'.

(2) Till din "några av de källor". Visa citat från dessa källor med 'en serie är en oändlig summa'.

(3) Till din "problematiska när de inte är". Du tycker inte att "summan av en serie" (Art. rad 2) = "summan av en summa av en oändligt antal termer" (Art. rad 1) är problematisk för läsarna?

Dessa frågor har hittills (21 juni) förblivit obesvarade. Detsamma gäller min fråga till Tournesol (Disk. 12 juni 2024 kl. 15:10)

"Kan du visa tillförlitliga källor här med: serie (= summa) = resultatet av en addition (version Tournesol/Andejons)? Med relevanta citat."

Under tiden hittade jag on line versionerna av Persson/Böiers (PB) och Eriksson/Larsson/Wahde-Del 3 (ELW) med 'definitioner':
(https://dokumen.pub/analys-i-en-variabel-3nbsped-9789144067650.html och
https://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma226/1314/ELW.pdf)
PB (verbalt, utan symboliska notationer) : "Konstruktionen som bildas följden av delsummor till en given talföljd kallas en serie ".
[ Kommentar Hesselp: - Kombinationen 'EN' och 'DEN' är ologisk i: EN serie är DEN (unika) konstruktionen som ändrar en talföljd i dess delsummorföljd. - I stället för konstruktionen kan man också säga den unika funktionen eller den unika avbildningen.]
ELW : "Den formella summationen av termerna av en talföljd i nummerordning, kallas serien med talföljdens termerna ".
[ Kommentar Hesselp: - Vem känner skilnaden mellan summation och formell summation ? - ELW definierar inte "serien" men "serien med talföljdens termerna". ]

Altså inget stöd i PB och ELW för 'definitionen' i version Tournesol/Andejons. Slutsatsen är att PB och ELW inte bör anges som källor. Och när ingen kan hitta riktiga källor för "serie = en summa av ett oändligt antal termer", då bör definitionen i artikeln ersättas. ~~ Hesselp (diskussion) 21 juni 2024 kl. 13.29 (CEST)

Andra källor definierar eller nämner också på något sätt seriens termer. Så definitionen av serien med termerna ak är inte konstig, det är definitionerna av serie och termer som satts ihop i samma definition. 'Formell summation' tolkar jag som att man bara ser a1+a2+a3+... som ett uttryck/formel utan att bry sig om det faktiskt går att utföra summationen och få ett resultat, det kommer senare i definitionerna av seriers konvergens, divergens och summa.
Att försöka få en enda helt korrekt definition av serie i artikelns inledning är nog svårt eftersom det görs på olika sätt i olika källor. Det gemensamma är att definitionerna bygger på en följd av termer och att serien skrivs a1+a2+a3+... eller Σak. 2001:2042:33FA:DA00:958B:BEAC:136F:BE5E 24 juni 2024 kl. 19.33 (CEST)

Till: Användare 2001:2042:33FA:DA00:958B:BEAC:136F:BE5E

- Efter din: ". . . definitionerna av seriers konvergens, divergens och summa."

Om "serie" är benämningen på ett uttryck/formel/expression av ett visst slag, kan man inte tala om "en konvergente serie". Ett uttryck kan inte konvergera, bara en följd kan konvergera.

- - Efter din: ". . . helt korrekt definition [..] i olika källor."

Enligt mej är en definition 'helt korrekt’ när den beskriver hur en läsare ska/kan interpretera detta ord när det förekommer i en matematisk text. Detta motsvarar källorna Cauchy t.o.m. Keisler, och texten, i version Hesselp (12 juni). I praktiken väljer man ordet 'serie' aldrig för en konstruktion eller för ett uttryck. (Men för en följd ... NÄR man tänker att betrakta osv.)

- - - Efter din: ". . . eller Σak."

Att ordet 'serie' bygger på en följd (= avbildning av N) anges också i alla sju källor till version Hesselp. Och notationen med plus- eller sigma-tecken nämns också av Vessiot/Montel, Bieberbach, Wijdenes, Quadling, Keisler. ~~ Hesselp (diskussion) 27 juni 2024 kl. 00.38 (CEST)

Till: sammanfattningen version 24 juni:

PB definierar: konstruktionens summa (= seriens summa), och: konstruktionens delsummor (= dess delsummor)

EWL definierar: den formella summationens summa = sigma-uttrycks summa (= seriens summa) , och: den formella summationens n:te delsumma = sigma-uttrycks n:te delsumma (= seriens n:te delsumma).

Jag kan inte se PB och EWL som tillförlitliga källor för Artikelns en oändlig additions summa (= en seriens summa). Och PB/EWL säger ingenting om en oändlig addition. Jag föreslår att inte använda PB och ELW som källor, utan att lista båda under 'Vidare läsning'. ~~ Hesselp (diskussion) 27 juni 2024 kl. 00.41 (CEST)

Motivering för korrigeringar i version Yger – 29 juni 2024

Menig 1. - PBs "Konstruktionen som bildas följden av delsummor till en given talföljd” och EWLs "Den formella summationen av termerna av en talföljd i nummerordning" är inte (tillförlitliga) källor för "serie = en addition av ett oändligt antal termer".
En addition (ett räcknesätt, enligt WPsv) är varken en konstruktion eller en formella summation.

Mening 2. - Om termerna närmar sig noll tillräckligt fort kan summan av en serie vara ändlig, även om antalet termer är oändligt (Serie = en oändlig addition, säger mening 1.)

Mening 3. - Man säger då att den (= termerna? summan? serien?) konvergerar.

Mening 4. - Termerna i serien ‘’utgörs’’ ? oftast av ‘’olika typer av matematiska uttryck’’ ? som (termerna eller uttrycket ?)‘’beror på ordningstalet i serien”? Adakadabra. Är detta ett försök att översätta Cauchys: “quantités qui dérive les unes des autres suivant une loi déterminée.” ? [Kvantiteter/tal som var och en härleds enligt en specifik lag.] [8]

Mening 5. - En series summa definieras som gränsvärdet av ett antal delsummor seriens delsummor.

Mening 6. - För en oändlig talföljd an DEFINIERAS summan av serien Σnan som Summan av serien med termer an NOTERAS SYMBOLISK som . . .
PBs definition av: ‘konstruktionens summa’ och EWLs definition av: ‘den formella summationens summa’ är inte (tillförlitliga) källor för ‘seriens summa = en oändlig additions summa’.

Mening 8. – “Ett exempel är talföljden an=1/2n ”.
Är talföljden an=1/2n ett exempel av . . . en serie? en addition? en räknesätt?

Mening 9. – “vars delsummor inte har ett ändligt gränsvärde” är mer elementärt/explicit än “som är divergenta i den vanliga meningen”.

Mening 11. Även analytisk fortsättning kan användas för att tilldela serier summor. Det är tvärtom. Det gäller här inte att ‘tilldela serier summor’, men att hitta potensserier i domänvärden av en given funktion utanför konvergenscirkeln av sin Taylorutveckling. ~~ Hesselp (diskussion) 3 juli 2024 kl. 11.23 (CEST)

Om:   en serie = en addition av ett oändligt antal termer

Det finns flera olika uppfattningar om betydelsen av ordet 'serie' i texter om matematisk analys. Här är några.

oändlig följd (avbildning av N)
Om det äldre namnet 'serie' används i stället för 'följd' står 'konvergent' för delsummorkonvergent, inte för termkonvergent.

symboliskt uttryck
Särskilt engelskspråkiga läroböcker sägs att 'serie' (engelska: series) står för ett symboliskt uttryck (engelska: expression):  en kombination av ett uttryck för en följd och ett uttryck för avbildningen som förvandlar en följd till dess delsummorföljd. T ex: uttrycket  a₁+a₂+a₃+ ···   och uttrycket  Σa_n.
Invändningar:
- Båda uttryck kan ha två betydelser:  följden (a₁+ · · · +a_n)_n=1,2,…  och  talet  lim _n→∞ (a₁+ · · · +a_n).
- - Ett uttryck kan inte konvergera / vara konvergent, så man kan inte tala om 'en konvergent serie'.

oändlig addition (version Yger, 3 juli)
Invändningar:
- Adakadabra. Ingen kan addera oändlig många tal.
- - Inga källor är kända för:  serie = en addition av ett oändligt antal termer.
- - - 'Addition' = ett räknesätt (WPsv).  Ett räknesätt kan inte konvergera / vara konvergent. ~~ Hesselp (diskussion) 7 juli 2024 kl. 21.07 (CEST)

Tre gånger konsens

• 100% konsens för version Yger 3 juni:
  INGEN känner till skillnaden mellan: en följd avsedd för summering och: en följd inte avsedd för summering. Och inte heller mellan: en följd av termer som adderas och: en följd av termer som inte adderas.

• 100% konsens för version Andejons 3 juni:
  INGEN kan säga om en serie (= en oändlig summa (Andejons) = resultatet av en oändlig addition (WP Summa) = ett tal ett tal eller en funktion) är konvergent eller inte. Ett tal kan inte konvergera eller divergera. Bara en oändlig följd av tal eller en oändlig följd av funktioner kan konvergera eller divergera.

• 100% konsens för version Hesselp 3 juni / 9 juni:
  INGEN nämner invändningar mot hur Vessiot, Montel, Bieberbach, Wijdenes, Quadling, Hoffman, Keisler har beskrivit användningen av ordet 'serie' inom matematisk analys. Hesselp (diskussion) 9 juni 2024 kl. 14.50 (CEST)
  

Modifierad (termerna i en serie är tal eller funktioner, enligt Andejons 9 juni) Hesselp (diskussion) 10 juni 2024 kl. 22.06 (CEST)