Zakrivljenost

Prikaz zakrivljenosti prostor-vremena.

U matematici, zakrivljenost se odnosi na brojne, u maloj meri povezane koncepte iz različitih oblasti geometrije. Intuitivno, zakrivljenost je mera odstupanja geometrijskog objekta od ravni, ili prave u slučaju linije, ali se to definiše na različite načine u zavisnosti od konteksta.

Svaka neprekidna kriva može se aproksimirati krugom određenog poluprečnika u okolini date tačke. Pretpostavimo da je kriva data u ravni. Poluprečnik kruga koji je dodiruje u tački (x, y) i ima isti prvi i drugi izvod kao i data kriva u toj tački predstavlja zakrivljenost krive. Krenimo od jednačine kruga sa centrom u tački (p, q)

$\left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}=r^{2}$ , (1)

gde je r poluprečnik kruga.

Diferenciranjem ove jednačine dobijamo

$\left(x-p\right)+\left(y-q\right)y'=0$ , (2)

a još jednim diferenciranjem

$1+y'^{2}+\left(y-q\right)y''=0$ . (3)

Iz (3) dobijamo da je

$y-q=-\left(1+y'^{2}\right)/y''$, (4)

a vraćanjem ovog rezultata u (2) sledi

$x-p=y'\left(1+y'^{2}\right)/y''$, (5).

Uvrštavanjem (4) i (5) u (1), dobijamo da je poluprečnik (krivine) kruga dat sa:

$r=\left(1+y'^{2}\right)^{\left(3/2\right)}/\left|y''\right|$ , (6)

uz napomenu da je r uvek pozitivan.

Za sve tačke na krugu, pa tako i tačke dela krive koju krug aproksimira (dodirna tačka i beskonačno mala okolina) veza poluprečnika kruga (zakrivljenosti) i prvog i drugog izvoda krive u toj tački data je jednačinom (6).

Ukoliko pomerimo koordinatni početak u dodirnu tačku kruga i krive i još postavimo x osu da se poklopi sa tangentom krive u toj tački, prvi izvod postaje nula i jednačina poluprečnika krivine (zakrivljenosti krive) se svodi na:

$r=1/\left|y''\right|$ .

Iz jednačina (4) i (5) mogu se za svaku tačku krive odrediti koordinate centra kruga zakrivljenosti p i q. Te tačke definišu novu krivu koja se naziva centroida.

Literatura

• Coolidge, J.L. „The Unsatisfactory Story of Curvature”. The American Mathematical Monthly. 59 (6).  (Jun. - Jul., 1952), pp. 375-379
• Curvature at the Encyclopaedia of Mathematics
• Morris Kline: Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. 1998. ISBN 978-0-486-40453-0. стр. 457–461.(restricted online copy на сајту Гугл књиге)
• A. Albert Klaf: Calculus Refresher. Dover. 1956. ISBN 978-0-486-20370-6. стр. 151–168.(restricted online copy на сајту Гугл књиге)
• James Casey: Exploring Curvature. Vieweg+Teubner Verlag. 1996. ISBN 978-3-528-06475-4..