Покривач (математика)

Дефиниција:

Покривачем скупа $Y$ називамо произвољну породицу подскупова $\mathbb {X}$ неког скупа $X$ , тј. $\mathbb {X} =\{X_{i}|i\in I\}$ , а $Y\subset X$ ако важи:

Y\subset \bigcup _{i\in I}X_{i}

, тј. ако сваки елемент скупа

Y

припада бар неком од чланова породице

\mathbb {X}

.

Специјално, ако за неко $J\subset I$ , и нека потпородица $\mathbb {X} '=\{X_{j}|j\in J\}$ сама чини покривач скупа $Y$ , тада кажемо да је породица $\mathbb {X} '$ потпокривач скупа $Y$ .

Примена

Покривач је појам који се највише користи у Теорији скупова и Топологији. У Реалној анализи под покривачем скупа подразумева се покривање неке криве интервалима.

Борел-Лебегова лема

Једна од познатијих теорема из Реалне анализе у чијем се доказу користе покривачи, је тзв. Борел-Лебегова лема.

Лема

Из сваког покривача отвореним интервалима, одсечка реалне праве $[a,b]$ , може се издвојити коначан потпокривач.

Доказ

Означимо са $X$ скуп свих оних тачака $x$ за које важи да се одсечак $[a,x]$ може покрити коначним бројем отворених интервала. Тај скуп $X$ очигледно није празан, јер му припада најпре тачка $a$ која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка $b$ припада скупу $X$ . Пошто скуп $X$ није празан и ограничен је одозго, он мора имати супремум. Нека је $y$ његов супремум. Ако претпостављамо да тачка $b$ не припада том скупу, онда је $x\leq y\leq b$ , те и $y$ припада одсечку $[a,b]$ , па као и свака тачка тог сегмента, и $y$ припада неком отвореном интервалу $(\alpha ,\beta )$ . Тада за неко $x$ важи: $\alpha \leq x\leq y$ , јер би иначе то $x$ било супремум скупа $X$ . Интервал $(\alpha ,\beta )$ можемо придружити скупу $X$ , зато што је могуће и одсечак $[a,y]$ прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било $y\neq b$ , тада би се између $y$ и $b$ нашло још чланова скупа $X$ због отворености интервала $(\alpha ,\beta )$ , што је у супротности са тиме да је $y$ супремум скупа $X$ . Због тога, и $b$ припада скупу $X$ , чиме смо доказали да се одсечак $[a,b]$ може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

Види још

Литература

Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.