Болцано-Вајерштрасова теорема

Болцано-Вајерштрасова теорема за скупове

Дефиниција

Сваки бесконачан и ограничен скуп у $\mathbb {R}$ има бар једну тачку нагомилавања у $\mathbb {R} .$

Сваки бесконачан скуп у $\mathbb {R}$ има бар једну тачку нагомилавања у ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}.$

Доказ

Нека је скуп $A\subset \mathbb {R}$ бесконачан и ограничен. Пошто је ограничен, значи да $A\subset I_{0}$ за неки одсечак $I_{0}=[a,b].$ Поделимо дати одсечак на два дела, тачком $T_{1}={\frac {a+b}{2}}.$ Пошто је скуп $A$ бесконачан, у бар једном од одсечака $[a,{\frac {a+b}{2}}]$ и $[{\frac {a+b}{2}},b]$ ће се наћи бесконачно много чланова скупа $A$ . Означимо тај одсечак са $I_{1}=[a_{1},b_{1}].$ Понављајући тај поступак, добијамо одсечке $I_{2}$ , $I_{3}$ , ..., тј. бесконачни низ уметнутих одсечака $(I_{n}),$ од којих сваки од ових одсечака садржи бесконачно много елемената скупа $A.$

Из Канторовог принципа уметнутих одсечака, бесконачан низ уметнутих одсечака има непразан пресек, а тај пресек је нека тачка која ће припадати свим одсечцима.

Означимо са $x$ тачку која ће припадати свим одсечцима $(I_{n}).$

Како Важи:

(\forall \epsilon >0)(\forall n\in \mathbb {N} )(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(n>n_{0}\Rightarrow {\frac {b-a}{2^{n}}}<\epsilon ),

(из аксиоме непрекидности према Архимедовом својству)

што значи да ће за свако произвољно одабрано $\epsilon >0,$ постојати довољно велико $n_{0},$ тако да ће се сви одсечци почев од $I_{n_{0}}$ налазити у околини $x-\epsilon ,x+\epsilon$ тачке $x,$ а како сваки од тих одсечака има бесконачно много чланова, то се према дефиницији тачке нагомилавања скупа, закључује да је тачка $x$ тачка нагомилавања скупа $A$ , што је и требало показати.

Ако је скуп $A$ ограничен, доказ о постојању његове тачке нагомилавања је управо изведен.

Ако је скуп $A$ неограничен, то се из дефиниције тачака $+\infty$ и $-\infty$ закључује да је онда једна од њих тачка нагомилавања скупа $A.$ Тиме је доказ завршен.

Види још

Литература

Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.