Rejli-Džinsov zakon

Rejli-Džinsov zakon je zakon klasične fizike kojim se opisuje raspodela energije elektromagnetnog zračenja apsolutno crnog tela u limesu dugih talasnih dužina. Ovo je klasični limes Plankovog zakona zračenja za velike talasne dužine.

Rejli-Džinsov zakon se može formulisati kao zavisnost od talasne dužine λ ili kao zavisnost od frekvencije ν:

$B_{\lambda }(T)={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}$

$B_{\nu }(T)={\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}.$

gde je T temperatura, c brzina svetlosti u vakuumu i k Bolcmanova konstanta.

Istorijat

Ovaj zakon je prvobitno formulisao britanski fizičar lord Rejli pokušavajući da objasni ponašanje elektromagnetnog zračenja klasičnom fizikom (na celom spektru). Nekoliko godina kasnije, on i Džins su zajedno objavili potpunije izvođenje. Međutim, njihov zakon nije mogao da objasni ponašanje zračenja malih talasnih dužina, jer po ovom zakonu energija teži beskonačnosti kada talasna dužina teži nuli (tzv. ultraljubičasta katastrofa), što se nije poklapalo sa eksperimentalnim vrednostima.

Izvođenje

Ovde će biti prikazano izvođenje Rejli-Džinsovog zakona iz Plankovog zakona. Plankov zakon zračenja u funkciji talasne dužine je:

$B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}},$

gde je h Plankova konstanta. Kako se eksponencijalna funkcija može razviti u Tejlorov red:

$e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots .$

za limes visokih temperatura ili velikih talasnih dužina (uz zadržavanje samo prvih članova) važi:

$e^{\frac {hc}{\lambda kT}}\approx 1+{\frac {hc}{\lambda kT}}.$

Pa je

${\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}\approx {\frac {1}{\frac {hc}{\lambda kT}}}={\frac {\lambda kT}{hc}}.$

Na osnovu čega se dobija izraz:

$B_{\lambda }(T)={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}},$

Dakle, Rejli-Džinsov zakon zaista jeste dugotalasni limes Plankovog zakona zračenja.

Analogno se može pokazati i za zavisnost od frekvencije:

$B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}/c^{2}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {kT}{h\nu }}={\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}.$