Shpërndarja Cauchy
![]() Kurba e purpurt është shpërndarja standarde Koshi | |||
Cumulative distribution function ![]() | |||
Parametrat | vendndodhja (real) shkalla (real) | ||
---|---|---|---|
Mbështetës | |||
Unknown type | |||
FGSH | |||
Kuantili | |||
Vlera e pritur | e papërcaktuar | ||
Mediana | |||
Moda | |||
Unknown type | e papërcaktuar | ||
DMA | |||
Shtrirja | e papërcaktuar | ||
Kurtoza e tepërt | e papërcaktuar | ||
Entropia | |||
FGJM | nuk ekziston | ||
Informacione për Fisher |
Shpërndarja Cauchy, e quajtur sipas Augustin Cauchy, është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është i njohur gjithashtu, veçanërisht në mesin e fizikantëve, si shpërndarja e Lorencit (pas Hendrik Lorentz ), shpërndarja Cauchy-Lorentz, funksioni Lorenc(ian) ose shpërndarja Breit-Wigner . Shpërndarja Cauchy është shpërndarja e pikëprerjes së abshisave të një rrezeje që del nga me një kënd si n.r të shpërndarë uniformisht. Është gjithashtu shpërndarja e raportit të dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht me mesatare zero.
Shpërndarja Cauchy përdoret shpesh në statistika si shembulli kanonik i një shpërndarjeje " patologjike " pasi si pritja matematike ashtu edhe varianca e saj janë të papërcaktuara. Shpërndarja Cauchy nuk ka momente të fundme të rendit më të madh ose të barabartë me një; ekzistojnë vetëm momente absolute të pjesshme. [1] Shpërndarja Cauchy nuk ka funksion gjenerues të momentit .
Në matematikë, ajo është e lidhur ngushtë me bërthamën Poisson, e cila është zgjidhja themelore për ekuacionin Laplace në gjysmë-rrafshin e sipërm .
Është një nga shpërndarjet e pakta që është e qëndrueshme dhe ka një funksion të dendësisë të probabilitetit që mund të shprehet në mënyrë analitike, të tjerat janë shpërndarja normale dhe shpërndarja Lévy .
Historia
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Mean_estimator_consistency.gif/220px-Mean_estimator_consistency.gif)
Një funksion me formën e funksionit të dendësisë së shpërndarjes Cauchy u studiua gjeometrikisht nga Fermati në 1659, dhe më vonë u njoh si shtriga e Agnesit, pasi Agnesi e përfshiu atë si shembull në librin e saj të llogaritjes së vitit 1748. Pavarësisht nga emri i saj, analiza e parë e shkoqur e vetive të shpërndarjes Cauchy u botua nga matematikani francez Poisson në 1824, me Cauchy që u lidh me të vetëm gjatë një polemike akademike në 1853. [2] Poisson vuri në dukje se nëse merrej mesatarja e vëzhgimeve pas një shpërndarjeje të tillë, gabimi mesatar nuk konvergjonte në ndonjë numër të fundëm. Si i tillë, përdorimi nga Laplasi i teoremës qëndrore limite me një shpërndarje të tillë ishte i papërshtatshëm, pasi supozoi një mesatare dhe variancë të fundme.
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (PDF)
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Shpërndarja Cauchy është shpërndarja e probabilitetit me funksionin e mëposhtëm të dendësisë të probabilitetit (PDF) [1] [3]
ku është parametri i vendndodhjes, duke specifikuar vendndodhjen e pikut të shpërndarjes, dhe është parametri i shkallës që specifikon gjysmën e gjerësisë në gjysmën maksimale (HWHM), në mënyrë alternative është gjerësia e plotë në gjysmën e maksimumit (FWHM). Augustin-Louis Cauchy shfrytëzoi një funksion të tillë dendësie në vitin 1827 me një parametër të shkallës pambarimisht të vogël, duke përcaktuar atë që tani quhet funksion i deltës së Dirakut .
Karakteristikat e PDF-së
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Vlera ose amplituda maksimale e FDP të shpërndarjes Koshi është , i vendosur në .
Ndonjëherë është i përshtatshëm për të shprehur PDF në terma të parametrit kompleks
Rasti i veçantë kur dhe quhet shpërndarja standarde Koshi me funksionin e dendësisë së probabilitetit [4] [5]
Në fizikë, shpesh përdoret një funksion Lorencian me tre parametra:
ku është lartësia e majës. Funksioni Lorencian me tre parametra i treguar nuk është, në përgjithësi, një funksion i dendësisë së probabilitetit, pasi ai nuk integrohet në 1, përveç në rastin e veçantë ku
Funksioni mbledhës i shpërndarjes (CDF)
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Shpërndarja Koshi është shpërndarja e probabilitetit me funksionin e mëposhtëm të shpërndarjes mbledhëse (FSHM):
dhe funksioni kuantile ( fshm e anasjelltë ) i shpërndarjes Cauchy është
Për shpërndarjen standarde, funksioni i shpërndarjes mbledhëse thjeshtohet në funksionin arktangent :
Vetitë
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Shpërndarja Koshi është një shembull i një shpërndarjeje që nuk ka mesatare, variancë ose momente më të larta të përcaktuara. Moda dhe mediana e tij janë të përcaktuara mirë dhe janë të dyja të barabarta me .
Shpërndarja Cauchy është një shpërndarje probabiliteti pafundësisht e pjestueshme . Është gjithashtu një shpërndarje rreptësisht e qëndrueshme . [6]
Shuma e shpërndarjeve Cauchy
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Nëse janë n.r IID të marra nga shpërndarja standarde Cauchy, atëherë mesatarja e mostrës ndjek gjithashtu një shpërndarje Koshi. Në veçanti, mesatarja nuk konvergjon tek mesatarja, dhe kështu shpërndarja standarde e Koshiut nuk ndjek ligjin e numrave të mëdhenj.
Teorema qëndrore limite
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Nëse janë n.r IID me PDF sikurse është e fundme, por jo zero, atëherë konvergjon në shpërndarje në një shpërndarje Koshi me shkallë . [7]
Funksioni karakteristik
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Le tregojnë një ndryshore të rastit të shpërndarë sipas Koshiut. Funksioni karakteristik i shpërndarjes Koshi jepet nga
Entropia
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Entropia e shpërndarjes Koshi jepet nga:
Derivati i funksionit kuantile, funksioni i dendësisë së kuantilit, për shpërndarjen Koshi është:
Vlerësimi i parametrave
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Për shkak se parametrat e shpërndarjes Cauchy nuk korrespondojnë me një mesatare dhe variancë, përpjekja për të vlerësuar parametrat e shpërndarjes Cauchy duke përdorur një mesatare të mostrës dhe një variancë të mostrës nuk do të ketë sukses. [8] Për shembull, nëse një kampion iid me madhësi n merret nga një shpërndarje Cauchy, mund të llogaritet mesatarja e kampionit si:
Megjithëse vlerat e mostrës do të përqëndrohen në vlerën qendrore , mesatarja e kampionit do të bëhet gjithnjë e më e ndryshueshme ndërsa bëhen më shumë vëzhgime, për shkak të rritjes së probabilitetit për të hasur në pika të mostrës me një vlerë të madhe absolute. Në fakt, shpërndarja e mesatares së mostrës do të jetë e barabartë me shpërndarjen e vetë vëzhgimeve; dmth, mesatarja e mostrës së një kampioni të madh nuk është një vlerësues më i mirë (ose më i keq). se çdo vëzhgim i vetëm nga kampioni. Në mënyrë të ngjashme, llogaritja e variancës së mostrës do të rezultojë në vlera që rriten kur merren më shumë vëzhgime.
Prandaj, mjete më të forta për të vlerësuar vlerën qendrore dhe parametrin e shkallëzimit janë të nevojshme. Një metodë e thjeshtë është të merret vlera mesatare e kampionit si një vlerësues i dhe gjysma e shtrirjes ndërkuartile të kampionit si një vlerësues i . Janë zhvilluar metoda të tjera, më të sakta dhe të forta [9] [10] Për shembull, mesatarja e cunguar e 24% të mesit të statistikave të rendit të mostrës prodhon një vlerësim për që është më efikase sesa përdorimi i mesores së mostrës ose mesatares së plotë të mostrës. [11] [12] Megjithatë, për shkak të bishtit të trashë të shpërndarjes Cauchy, efikasiteti i vlerësuesit zvogëlohet nëse përdoret më shumë se 24% e kampionit. [11] [12]
Përgjasia maksimale mund të përdoret gjithashtu për të vlerësuar parametrat dhe . Megjithatë, kjo priret të ndërlikohet nga fakti se kjo kërkon gjetjen e rrënjëve të një polinomi të shkallës së lartë dhe mund të ketë rrënjë të shumta që përfaqësojnë maksimumin vendor. [13] Gjithashtu, ndërsa vlerësuesi maksimal i gjasave është asimptotikisht efikas, ai është relativisht joefikas për mostrat e vogla. [14] [15] Funksioni i gjasave log për shpërndarjen Cauchy për madhësinë e kampionit është:
Maksimizimi i funksionit logaritmues të përgjasisë maksimale në lidhje me dhe duke marrë derivatin e parë prodhon sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:
Vini re se
është një funksion monoton në dhe se zgjidhja duhet të kënaqë
Zgjidhja vetëm për kërkon zgjidhjen e një polinomi të shkallës , [13] dhe zgjidhja vetëm për kërkon zgjidhjen e një polinomi të shkallës . Prandaj, nëse zgjidhet për një parametër ose për të dy parametrat njëkohësisht, zakonisht kërkohet një zgjidhje numerike. Përfitimi i vlerësuesit të përgjasisë maksimale është efikasiteti asimptotik; duke vlerësuar përdorimi i mesatares së kampionit është vetëm rreth 81% po aq asimptotikisht efikas sa vlerësimi sipas gjasave maksimale. [12] [16] Mesatarja e mostrës së cunguar duke përdorur statistikat e rendit të mesëm prej 24% është rreth 88% si një vlerësues asimptotikisht efikas i si vlerësimi maksimal i gjasave. [12] Kur metoda e Njutonit përdoret për të gjetur zgjidhjen për vlerësimin maksimal të gjasave, statistikat e rendit të mesëm prej 24% mund të përdoren si zgjidhje fillestare për .
Vetitë e transformimit
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]- Nëse atëherë [17]
- Nëse dhe janë të pavarur atëherë dhe
- Nëse pastaj
- Parametrimi i McCullagh-së i shpërndarjeve Cauchy : Shprehja e një shpërndarjeje Cauchy në termat e një parametri kompleks , përcaktoni të thotë . Nëse pastaj:
- Duke përdorur të njëjtën konventë si më sipër, nëse atëherë: [18]
Shpërndarjet e ndërlidhura
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]- Shpërndarja e studentit
- Shpërndarja <i id="mwAl4">t</i> jo e standardizuar e Studentit
- Nëse e pavarur, atëherë
- Nëse atëherë
- Nëse atëherë
- Nëse atëherë
- Shpërndarja Cauchy është një rast kufizues i një shpërndarjeje Pearson të tipit 4
- Shpërndarja Cauchy është një rast i veçantë i një shpërndarjeje Pearson të tipit 7. [1]
- Shpërndarja Cauchy është një shpërndarje e qëndrueshme : nëse , atëherë .
- Shpërndarja Cauchy është një kufi singular i një shpërndarjeje hiperbolike
- Shpërndarja e mbështjellë Cauchy, duke marrë vlera në një rreth, rrjedh nga shpërndarja Cauchy duke e mbështjellë rreth rrethit.
- Nëse , , pastaj . Për shpërndarjet gjysmë Cauchy, lidhja qëndron duke vendosur .
Ndodhia dhe zbatimet
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]- Në spektroskopi, shpërndarja Koshi përshkruan formën e linjave spektrale të cilat i nënshtrohen zgjerimit homogjen në të cilin të gjitha atomet ndërveprojnë në të njëjtën mënyrë me shtrirjen e frekuencës që gjendet në formën e vijës. Shumë mekanizma shkaktojnë zgjerim homogjen, veçanërisht zgjerimin e përplasjes . [19] Zgjerimi natyror ose jetësor gjithashtu krijon një formë vije të përshkruar nga shpërndarja Cauchy.
- Aplikimet e shpërndarjes Koshi ose të transformimit të saj mund të gjenden në fusha që punojnë me rritje eksponenciale. Një letër e vitit 1958 nga White [20] nxori statistikën e testit për vlerësuesit e për ekuacionin dhe ku vlerësuesi i përgjasisë maksimale gjendet duke përdorur katrorët më të vegjël të zakonshëm, tregoi se shpërndarja e mostrës së statistikës është shpërndarja Koshi.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Cauchy_distribution.png/220px-Cauchy_distribution.png)
- Shpërndarja Koshi është shpesh shpërndarja e vëzhgimeve për objektet që rrotullohen. Referenca klasike për këtë quhet problemi i farit të Pulëbardhës dhe si në pjesën e mësipërme si shpërndarja Breit-Wigner në fizikën e grimcave.
- Në hidrologji shpërndarja Koshi zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Cauchy me reshjet maksimale mujore njëditore të renditura duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e hedhura në grafik si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
- Shprehja për pjesën imagjinare të lejueshmërisë elektrike komplekse sipas modelit Lorentz është një model VAR ( vlera në rrezik ) që prodhon një probabilitet shumë më të madh të rrezikut të skajshëm sesa Shpërndarja gausiane .
- ^ a b c N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. New York: Wiley.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!), Chapter 16. Gabim referencash: Invalid<ref>
tag; name "jkb1" defined multiple times with different content - ^ Cauchy and the Witch of Agnesi in Statistics on the Table, S M Stigler Harvard 1999 Chapter 18
- ^ Feller, William (1971). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II (bot. 2). New York: John Wiley & Sons Inc. fq. 704. ISBN 978-0-471-25709-7.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Riley, Ken F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering (bot. 3). Cambridge, UK: Cambridge University Press. fq. 1333. ISBN 978-0-511-16842-0.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Balakrishnan, N.; Nevrozov, V. B. (2003). A Primer on Statistical Distributions (bot. 1). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc. fq. 305. ISBN 0-471-42798-5.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Campbell B. Read; N. Balakrishnan; Brani Vidakovic; Samuel Kotz (2006). Encyclopedia of Statistical Sciences (bot. 2nd). John Wiley & Sons. fq. 778. ISBN 978-0-471-15044-2.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ "Updates to the Cauchy Central Limit". Quantum Calculus. 13 nëntor 2022. Marrë më 21 qershor 2023.
{{cite web}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ "Illustration of instability of sample means". Arkivuar nga origjinali më 2017-03-24. Marrë më 2014-11-22.
{{cite web}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Cane, Gwenda J. (1974). "Linear Estimation of Parameters of the Cauchy Distribution Based on Sample Quantiles". Journal of the American Statistical Association. 69 (345): 243–245. doi:10.1080/01621459.1974.10480163. JSTOR 2285535.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Zhang, Jin (2010). "A Highly Efficient L-estimator for the Location Parameter of the Cauchy Distribution". Computational Statistics. 25 (1): 97–105. doi:10.1007/s00180-009-0163-y.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ a b Rothenberg, Thomas J.; Fisher, Franklin, M.; Tilanus, C.B. (1964). "A note on estimation from a Cauchy sample". Journal of the American Statistical Association. 59 (306): 460–463. doi:10.1080/01621459.1964.10482170.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja) - ^ a b c d Bloch, Daniel (1966). "A note on the estimation of the location parameters of the Cauchy distribution". Journal of the American Statistical Association. 61 (316): 852–855. doi:10.1080/01621459.1966.10480912. JSTOR 2282794.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid<ref>
tag; name "bloch" defined multiple times with different content - ^ a b Ferguson, Thomas S. (1978). "Maximum Likelihood Estimates of the Parameters of the Cauchy Distribution for Samples of Size 3 and 4". Journal of the American Statistical Association. 73 (361): 211–213. doi:10.1080/01621459.1978.10480031. JSTOR 2286549.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid<ref>
tag; name "ferguson" defined multiple times with different content - ^ Cohen Freue, Gabriella V. (2007). "The Pitman estimator of the Cauchy location parameter" (PDF). Journal of Statistical Planning and Inference. 137 (6): 1901. doi:10.1016/j.jspi.2006.05.002. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2011-08-16.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Wilcox, Rand (2012). Introduction to Robust Estimation & Hypothesis Testing. Elsevier.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Barnett, V. D. (1966). "Order Statistics Estimators of the Location of the Cauchy Distribution". Journal of the American Statistical Association. 61 (316): 1205–1218. doi:10.1080/01621459.1966.10482205. JSTOR 2283210.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Lemons, Don S. (2002), "An Introduction to Stochastic Processes in Physics", American Journal of Physics, The Johns Hopkins University Press, vëll. 71 no. 2, fq. 35, Bibcode:2003AmJPh..71..191L, doi:10.1119/1.1526134, ISBN 0-8018-6866-1
{{citation}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Gabim referencash: Etiketë
<ref>
e pavlefshme; asnjë tekst nuk u dha për refs e quajturaMcCullagh1992
- ^ E. Hecht (1987). Optics (bot. 2nd). Addison-Wesley. fq. 603.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ White, J.S. (dhjetor 1958). "The Limiting Distribution of the Serial Correlation Coefficient in the Explosive Case". The Annals of Mathematical Statistics. 29 (4): 1188–1197. doi:10.1214/aoms/1177706450.
{{cite journal}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ "CumFreq, free software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting". Arkivuar nga origjinali më 2018-02-21.
{{cite web}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)