homologi

Disse intuitive og kvalitative argumentene kan gjøres presise ved å beregne homologitallene til kulen \(S\) og torusen \(T\). Homologitallene kalles ofte Betti-tall, da de først ble definert og brukt av den italienske matematikeren Enrico Betti. Han definerte disse annerledes enn slik vi gjør i dag, og tok inspirasjon fra noen tall Bernhard Rieman tidligere hadde brukt for å studere hvor sammenhengende et rom er.

Betti-tallene ble videre formalisert av Henri Poincaré i hans kjente artikkel Analysis situs. Han introduserte en helt ny struktur som gjorde at man kunne enklere beregne Betti-tallene. Senere viste Emmy Noether at denne strukturen definert av Poincaré faktisk dannet en abelsk gruppe, et matematisk struktur som lar oss legge sammen og trekke fra elementer i denne strukturen.

Når topologer beregner homologi er det som regel disse homologi-gruppene de beregner. Det finnes mange måter å beregne disse på, alle med sine fordeler og ulemper, avhengig av konteksten.

Formelt kan man da definere det \(n\)-te Betti-tallet \(B_n(X)\) til et topologisk rom \(X\), til å være tallet gitt ved følgende formel:

\[B_n (X)=\operatorname{dim}H_n(X; \mathbb{Q})\]

Symbolet \(H_n\) betyr \(n\)-te homologi, altså den matematisk presise konstruksjonen som forteller oss intuitivt hvor mange \(n\)-dimensjonale hull det topologiske rommet \(X\) har. Tilleggssymbolet \(\mathbb{Q}\) betyr at vi målet hullet med rasjonale tall. Det viser seg da at objektet \(H_n(X;\mathbb{Q})\) er et rasjonalt vektorrom kalt den \(n\)-te homologigruppen til \(X\).

Et vektorrom har en dimensjon som er definert ved hvor mange uavhengige variable man må bruke for å spesifisere et punkt i vektorrommet. For eksempel er dimensjonen til det vanlige Euklidske tredimensjonale rommet \(\mathbb{R}^3\) lik tre, da vi må spesifisere tre koordinater: høyde, lengde og bredde. Planet \(\mathbb{R}^2\) har dimensjon lik to, da vi kun trenger å spesifisere to koordinater. Med symbolet \(\operatorname{dim}V\) mener vi da dimensjonen til vektorrommet \(V\). Dermed er for eksempel \(\operatorname{dim}\mathbb{R}^3 = 3\).

Den fullstendige formelen for det \(n\)-te Betti-tallet betyr da at \(B_n(X)\) er dimensjonen til vektorrommet \(H_n(X;\mathbb{Q})\).

Med denne presise definisjonen kan man i teorien beregne Betti-tallene til \(S\) og \(T\), som gjenspeiler intuisjonen vår ovenfor. Vi har \(B_1(S)=0\) og \(B_2(S)=2\), altså har et kuleskall ingen endimensjonale hull, men har nøyaktig ett todimensjonalt hull. Vi har også \(B_1(T)=2\) og \(B_2(T)=1\), som bekrefter intuisjonen om at torusen har to forskjellige endimensjonale hull, men kun ett todimensjonalt hull.

I praksis kan det svært komplisert å beregne disse tallene. For beregningen av \(B_1\) kan man bruke en litt mer lavterskelbeskrivelse. Det første Betti-tallet kan også beskrives som det maksimale antall fullstendige kutt man kan gjøre på rommet \(X\) før det deler seg i to ulike deler. For kuleskallet \(S\) vil alle fullstendige kutt føre til at vi får to ulike deler, dermed er \(B_1(S)=0\). For torusen \(T\) kan vi kutte over ringen, noe som gjør at vi sitter igjen med en sylinder. Vi kan igjen kutte sylinderen langs den ene siden, noe som gir oss et firkantet ark. Alle videre kutt vil gjøre at arket deler seg i to deler. Dermed har vi gjort to kutt, som betyr at \(B_1(T)=2\).

For de fleste topologiske rom, for eksempel en mangfoldighet \(M\), vil \(B_n(X)=0\) for alle \(n\) større enn dimensjonen til \(M\). Altså har for eksempel ikke kuleskallet \(S\) noen tredimensjonale eller firedimensjonale hull.

Vi kan derfor bruke Betti-tallene til å måle dimensjonen til en tilfeldig valgt mangfoldighet \(M\). Dimensjonen er dermed gitt som det største tallet \(n\) slik at det \(n\)-te Betti-tallet til \(M\) ikke er lik \(0\). Dette kan uttrykkes slik:

\[ \operatorname{dim} M=\max\{n\mid B_n(M)\neq 0\}\]

Dette betyr for eksempel at både kulen \(S\) og torusen \(T\) er todimensjonale, noe som kanskje virker rart da de tross alt eksisterer i tre dimensjoner. Men overflaten av disse er todimensjonale, så det er det som menes med dimensjon her.

Konseptet for dimensjon for mangfoldigheter er litt annerledes enn konseptet for dimensjon av et vektorrom vi så tidligere. Selv om dimensjonen til det Euklidske tredimensjonale rommet \(\mathbb{R}^3\) er lik tre, når vi tenker på det som et vektorrom, så er dimensjonen lik null når vi tenker på det som en mangfoldighet (alle Betti-tallene er lik null). Dette er fordi det tredimensjonale rommet er topologisk ekvivalent til et punkt, som er null-dimensjonalt.