Lanczosev tenzor

Lanczosev ténzor ali Lanczosev potenciál [láncošev ~] je v splošni teoriji relativnosti tenzor 3. reda, ki generira Weylov tenzor. Uvedel ga je Cornelius Lanczos leta 1949. Njegov teoretični pomen je, da služi kot umeritveno polje za gravitacijsko polje na podoben način, kot po analogiji (elektromagnetni) četverec potenciala ustvarja elektromagnetno polje. Tu ima tako enako vlogo kot vektorski potencial.

Definicija

Lanczosev tenzor je mogoče definirati na nekaj različnih načinov. Najpogostejša sodobna definicija je preko Weyl-Lanczosevih enačb, ki prikazujejo generiranje Weylovega tenzorja iz Lanczosevega tenzorja. Te enačbe, predstavljene spodaj, je podal Takeno leta 1964. Lanczos je tenzor prvotno uvedel kot Lagrangeev multiplikator na omejitvenih členih, ki so jih preučevali v variacijskem pristopu k splošni teoriji relativnosti. Pod katero koli definicijo Lanczosev tenzor $H\!\,$ kaže naslednje simetrije:

$H_{abc}+H_{bac}=0\!\,$

$H_{abc}+H_{bca}+H_{cab}=0\!\,.$

Lanczosev tenzor zmeraj obstaja v štirih razsežnostih, ni pa ga mogoče posplošiti na višje razsežnosti. To poudarja posebnost štirih razsežnosti. Upoštevati je treba, da polnega Riemannovega tenzorja na splošno ni mogoče izpeljati samo iz odvodov Lanczosevega potenciala. Einsteinove enačbe polja morajo zagotoviti Riccijev tenzor za zaključitev komponent Riccijeve dekompozicije.

Curtrightovo polje ima dinamiko umerilne transformacije, podobno dinamiki Lanczosevega tenzorja. Vendar obstaja v poljubnih razsežnostih večjih od 4.

Weyl-Lanczoseve enačbe

Weyl-Lanczoseve enačbe izražajo Weylov tenzor v celoti kot odvode Lanczosevega tenzorja:

${\begin{aligned}C_{abcd}&=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{ac}\\&\quad -(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{}_{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})\end{aligned}}\!\,,$

kjer je $C_{abcd}\!\,$ Weylov tenzor, podpičja označujejo kovariantne odvode, podpisani okrogli oklepaji pa označujejo simetrizacijo. Čeprav se zgornje enačbe lahko uporabijo za definiranje Lanczosevega tenzorja, kažejo tudi, da ni edinstven, temveč ima umeritveno svobodo pod afino grupo. Če je $\Phi ^{a}\!\,$ poljubno vektorsko polje, potem so Weyl-Lanczoseve enačbe invariantne glede na umeritveno transformacijo:

$H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a}g_{b]c}\!\,,$

kjer podpisani oglati oklepaji označujejo antisimetrizacijo. Pogosta priročna izbira je Lanczoseva algebrska umeritev $\Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b}\!\,$, kjer je $H'_{ab}{}^{b}=0\!\,$. Umeritev se lahko naprej omeji prek Lanczoseve diferencialne umeritve $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0\!\,$. Te izbire umeritev privedejo Weyl-Lanczoseve enačbe na preprostejšo obliko:

$C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}{}_{ac;e}g_{bd}+H^{e}{}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc;e}g_{ad}\!\,.$

Valovna enačba

Za Lanczosev tenzor potenciala velja valovna enačba:

$\Box H_{abc}=J_{abc}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc}\!\,,$

kjer je $\Box \!\,$ d'Alembertov operator, :

$J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}}\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)\!\,$

pa je Cottonov tenzor. Ker je Cottonov tenzor odvisen le od kovariantnih odvodov Riccijevega tenzorja, se lahko mogoče tolmači kot vrsta snovnega toka. Dodatni samosklopitveni členi nimajo neposrednega elektromagnetnega ekvivalenta. Ti samosklopitveni členi pa ne vplivajo na vakuumske rešitve, kjer Riccijev tenzor izgine in je ukrivljenost v celoti opisana z Weylovim tenzorjem. Tako so v vakuumu Einsteinove enačbe polja enakovredne homogeni valovni enačbi $\Box H_{abc}=0\!\,$ v popolni analogiji z vakuumsko valovno enačbo $\Box A_{a}=0\!\,$ (elektromagnetnega) četverca potenciala. To kaže na formalno podobnost med gravitacijskim in elektromagnetnim valovanjem, pri čemer je Lanczosev tenzor zelo primeren za preučevanje gravitacijskega valovanja.

V elektromagnetni teoriji je bil vektorski potencial prvič uveden, da bi enačbe klasične elektrodinamike izrazili v preprostejši obliki. V klasični fiziki je edini fizikalni učinek elektromagnetnega polja na električni naboj Lorentzeva sila in ta obstaja samo v območjih, kjer električno ali magnetno polje ne izgine. Aharonov-Bohmov pojav dokazuje, da v kvantni mehaniki ni tako – fizikalni učinki se pojavijo v območjih, kjer električna in magnetna polja izginejo, vektorski potencial pa ne izgine.

V približku šibkega polja, kjer je $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}\!\,$, je primerna oblika za Lanczosev tenzor v Lanczosevi umeritvi:

$4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a})\!\,.$

Zgled

Najosnovnejši netrivialni zgled za izražanje Lanczosevega tenzorja je seveda Schwarzschildova metrika. Najenostavnejša, eksplicitna predstavitev komponent v naravnih enotah za Lanczosev tenzor je v tem primeru:

$H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}\!\,,$

vse druge komponente pa so enake nič do simetrij. Ta oblika pa ni v Lanczosevi umeritvi. Neničelni členi Lanczosevega tenzorja v Lanczosevi umeritvi so:

$H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}\!\,$

$H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}\!\,$

$H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}\!\,.$

Nadalje je mogoče pokazati, tudi v tem preprostem zgledu, da Lanczosevega tenzorja na splošno ni mogoče reducirati na linearno kombinacijo spinskih koeficientov Newman-Penroseovega formalizma, ki potrjuje temeljno naravo Lanczosevega tenzorja. Podobni izračuni so bili uporabljeni za konstruiranje poljubnih rešitev tipa D Petrova.

Glej tudi

• Bachov tenzor
• Riccijev račun
• Schoutenov tenzor
• Weylov tenzor
• tetradična Palatinijeva akcija
• sebidualna Palatinijeva akcija
• Aharonov-Bohmov pojav

Viri

• Ahsan, Zafar; Bilal, Mohd (26. avgust 2010), »A Solution of Weyl-Lanczos Equations for Arbitrary Petrov Type D Vacuum Spacetimes«, International Journal of Theoretical Physics, Springer Science and Business Media LLC, 49 (11): 2713–2722, Bibcode:2010IJTP...49.2713A, doi:10.1007/s10773-010-0464-5, ISSN 0020-7748, S2CID 123625845
• Bampi, Franco; Caviglia, Giacomo (1983), »Third-order tensor potentials for the Riemann and Weyl tensors«, General Relativity and Gravitation, Springer Science and Business Media LLC, 15 (4): 375–386, Bibcode:1983GReGr..15..375B, doi:10.1007/bf00759166, ISSN 0001-7701, S2CID 122782358
• Curtright, Thomas L. (december 1985), »Generalized gauge fields«, Physics Letters B (v angleščini), 165 (4–6): 304–308, Bibcode:1985PhLB..165..304C, doi:10.1016/0370-2693(85)91235-3, ISSN 0370-2693{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Dolan, P.; Kim, C. W. (8. december 1994), »The wave equation for the Lanczos potential«, Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 447 (1931): 557–575, Bibcode:1994RSPSA.447..557D, doi:10.1098/rspa.1994.0155, ISSN 0962-8444, S2CID 123625479
• Edgar, S. Brian (1994), »Nonexistence of the Lanczos potential for the Riemann tensor in higher dimensions«, General Relativity and Gravitation, Springer Science and Business Media LLC, 26 (3): 329–332, Bibcode:1994GReGr..26..329E, doi:10.1007/bf02108015, ISSN 0001-7701, S2CID 120343522
• Hammon, Kevin Scott; Norris, Larry Keith (1993), »The affine geometry of the Lanczos H-tensor formalism«, General Relativity and Gravitation, Springer Science and Business Media LLC, 25 (1): 55–80, Bibcode:1993GReGr..25...55H, doi:10.1007/bf00756929, ISSN 0001-7701, S2CID 26822756
• Lanczos, Cornelius (1938), »A Remarkable Property of the Riemann–Christoffel Tensor in Four Dimensions«, Annals of Mathematics, 39: 842–850, ISSN 0003-486X
• Lanczos, Cornelius (1. julij 1949), »Lagrangian Multiplier and Riemannian Spaces«, Reviews of Modern Physics, Ameriško fizikalno društvo (APS), 21 (3): 497–502, Bibcode:1949RvMP...21..497L, doi:10.1103/revmodphys.21.497, ISSN 0034-6861
• Lanczos, Cornelius (1. julij 1962), »The Splitting of the Riemann Tensor«, Reviews of Modern Physics, Ameriško fizikalno društvo (APS), 34 (3): 379–389, Bibcode:1962RvMP...34..379L, doi:10.1103/revmodphys.34.379, ISSN 0034-6861
• López-Bonilla, José Luis; Ovando, G.; Peña, J. J. (1999), »A Lanczos Potential for Plane Gravitational Waves«, Foundations of Physics Letters, Springer Science and Business Media LLC, 12 (4): 401–405, doi:10.1023/a:1021656622094, ISSN 0894-9875, S2CID 118057344
• Massa, Enrico; Pagani, Enrico (1984), »Is the Riemann tensor derivable from a tensor potential?«, General Relativity and Gravitation, Springer Science and Business Media LLC, 16 (9): 805–816, Bibcode:1984GReGr..16..805M, doi:10.1007/bf00762934, ISSN 0001-7701, S2CID 120457526
• Novello, Mario; Velloso, A. L. (1987), »The connection between general observers and Lanczos potential«, General Relativity and Gravitation, Springer Science and Business Media LLC, 19 (12): 1251–1265, Bibcode:1987GReGr..19.1251N, doi:10.1007/bf00759104, ISSN 0001-7701, S2CID 122998917
• O'Donnell, P.; Pye, H. (2010), »A Brief Historical Review of the Important Developments in Lanczos Potential Theory« (PDF), Electronic Journal of Theoretical Physics (EJTP), 7 (24): 327–350, ISSN 1729-5254, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 10. oktobra 2023, pridobljeno 7. oktobra 2023
• O'Donnell, Peter (2004), »Letter: A Solution of the Weyl–Lanczos Equations for the Schwarzschild Space-Time«, General Relativity and Gravitation, Springer Science and Business Media LLC, 36 (6): 1415–1422, Bibcode:2004GReGr..36.1415O, doi:10.1023/b:gerg.0000022577.11259.e0, ISSN 0001-7701, S2CID 122801979
• Roberts, Mark D. (1996), »The physical interpretation of the Lanczos tensor«, Il Nuovo Cimento B, Series 11, 110 (10): 1165–1176, arXiv:gr-qc/9904006, doi:10.1007/bf02724607, ISSN 1826-9877, S2CID 17670505
• Takeno, Hyôitirô (1964), »On the spintensor of Lanczos«, Tensor, 15: 103–119

Zunanje povezave

• O'Donnell, Peter (2003), »Introduction To 2-Spinors In General Relativity«, World Scientific (v angleščini)