Konjugirano transponirana matrika

Konjugirano transponirana matrika (oznaka $A^{*}\,$ ) (tudi hermitska transponirana in hermitska konjugirana matrika) matrike $A\,$ z razsežnostjo $m\times n\,$ in elementi, ki so kompleksni, je matrika $A^{*}\,$ , ki jo dobimo iz transponirane v kateri vse elemente spremenimo v konjugirano kompleksne. Za posamezne elemente lahko to zapišemo kot:

(A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}\!\,,

kjer je:

$A^{*}\,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A\,$

${\overline {A_{ji}}}\,$ so konjugirane vrednosti elementa $A_{ij}\,$
$i\,$ , $j\,$ sta zaporedni številki vrstice oziroma stolpca (pozor: indeksa sta zamenjana)
$i\,$ lahko zavzame vrednosti $1\leq i\leq n\,$
$j\,$ lahko zavzame vrednosti $1\leq j\leq m\,$

To lahko zapišemo tudi kot:

A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}\!\,,

kjer je:

$A^{T}\,$ transponiranje matrike $A\,$
${\overline {A}}\,$ pomeni konjugirano kompleksno vrednost za vse elemente matrike

Konjugirano transponirane matrike označujejo še na nekaj načinov. Običajno je način označevanja odvisen tudi od področja uporabe:

$A^{H}\,$ se uporablja v linearni algebri
$A^{\dagger }\,$ se uporablja v kvantni mehaniki
$A^{+}\,$ se uporablja za konjugirano transponirano matriko in za Moore-Penroseov psevdoinverz

Zgled

Če imamo matriko:

A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}\!\,,

potem je njena konjugirano transponirana matrika enaka:

A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}\!\,.

Značilnosti

Konjugirano transponirana matrika vsote dveh matrik z isto razsežnostjo je enaka vsoti konjugirano transponiranih matrik $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\,$
Za poljubno kompleksno število $r\,$ velja $(rA)^{*}=r^{*}.A^{*}\,$ , kjer je $r^{*}\,$ konjugirano kompleksno število števila $r\,$
Konjugirano transponirana matrika zmnožka dveh matrik $A\,$ (z razsežnostjo $m\times n\,$ ) in $B\,$ (z razsežnostjo $n\times p\,$ ) je zmnožek konjugirano transponiranih matrik $(AB)^{*}\,<math>=B^{*}.A^{*}\,$ (pozor: vrstni red je obrnjen)
Za poljubno matriko $A\,$ velja tudi $(A^{*})^{*}=A\,$
Če je $A\,$ kvadratna matrika, potem je determinanta $\det(A^{*})=(\det A)^{*}\,$
Če je $A\,$ kvadratna matrika, potem je sled matrike enaka $sl(A^{*})=(slA)^{*}\,$ .
Če in samo, če je matrika $A^{*}\,$ obrnljiva matrika, potem velja $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\,$
Lastne vrednosti matrike $A^{*}\,$ so konjugirano kompleksne lastne vrednosti matrike $A\,$
Če so elementi matrike $A\,$ realni, potem je matrika $A^{*}\,$ enaka transponirani $A^{T}\,$
Če za kvadratno matriko $A\,$ velja $A^{*}=A\,$ , potem je matrika sebi adjungirana ali hermitska
matrika je poševnohermitska matrika ali antihermitska, če je $A^{*}=-A\,$
matrika je normalna, če velja $A^{*}A=AA^{*}\,$ .