Elipsa Elípsa ali pákróg je v matematiki sklenjena ravninska krivulja ovalne oblike, pri kateri je vsota razdalj katerekoli točke od gorišč F1 in F2 stalna. Elipsa je ena od stožnic .
Na sliki so:
a velika polos,
b mala polos,
AB velika os (
A
B
¯
=
2
a
{\displaystyle {\overline {AB}}=2a}
CD mala os (
C
D
¯
=
2
b
{\displaystyle {\overline {CD}}=2b}
točke A, B, C in D so temena elipse in
F1 ter F2 pa gorišči elipse. Gorišči sta od središča o oddaljeni za
c
=
e
⋅
a
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle c=e\cdot a={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
1 in r2 označimo razdalji od gorišč F1 in F2 do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžini
r
1
=
a
−
e
x
{\displaystyle r_{1}=a-ex}
r
2
=
a
+
e
x
{\displaystyle r_{2}=a+ex}
r
1
+
r
2
=
2
a
{\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}
Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
parametrična oblika enačbe elipse pa je
x
=
a
cos
t
{\displaystyle x=a\,\cos t}
y
=
b
sin
t
{\displaystyle y=b\,\sin t}
0
≤
t
<
2
π
{\displaystyle 0\leq t<2\pi }
e
=
c
a
=
a
2
−
b
2
a
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
r
(
1
+
e
cos
θ
)
=
l
{\displaystyle r(1+e\cos \theta )=l\,}
l
=
b
2
a
{\displaystyle l={\frac {b^{2}}{a}}}
S
=
π
a
b
.
{\displaystyle S=\pi ab\,\!.}
o
=
4
a
E
(
e
)
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
e
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
e
4
3
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
e
6
5
−
⋯
]
,
{\displaystyle o=4aE(e)=2\pi a\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots \right]\,\!,}
kjer je E(e) popolni eliptični integral druge vrste .
Ramanudžanov približek iz leta 1914:
o
≈
π
[
3
(
a
+
b
)
−
(
3
a
+
b
)
(
a
+
3
b
)
]
.
{\displaystyle o\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\,\!.}
Še en približek:
o
≈
π
2
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle o\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}\,\!}
Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo s kvadratno formo :
a
x
2
+
2
b
x
y
+
c
y
2
+
d
x
+
e
y
+
f
=
0
.
{\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.}
Če forma nima člena z
x
y
{\displaystyle xy}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
a
x
2
+
c
y
2
+
d
x
+
e
y
+
f
=
0
.
{\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.}
Če forma nima člena z
x
{\displaystyle x}
d
=
0
{\displaystyle d=0}
a
x
2
+
c
y
2
+
e
y
+
f
=
0
.
{\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+ey+f=0\,\!.}
Če forma nima člena z
y
{\displaystyle y}
e
=
0
{\displaystyle e=0}
a
x
2
+
c
y
2
+
f
=
0
.
{\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+f=0\,\!.}
Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.
Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:
A
=
[
a
b
d
b
c
e
d
e
f
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}}}
in
B
=
[
a
b
b
c
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}
Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja:
|
A
|
≠
0
,
|
B
|
>
0
,
|
A
|
a
+
c
<
0
{\displaystyle |A|\neq 0,\quad |B|>0,\quad {\frac {|A|}{a+c}}<0}
pri čemer je
|
A
|
=
a
c
f
+
2
b
d
e
−
f
b
2
−
c
d
2
−
a
e
2
{\displaystyle |A|=acf+2bde-fb^{2}-cd^{2}-ae^{2}}
|
B
|
=
a
c
−
b
2
{\displaystyle |B|=ac-b^{2}}
Središče elipse je rešitev sistema enačb:
2
a
x
+
2
b
y
+
d
=
0
,
{\displaystyle 2ax+2by+d=0\,\!,}
2
b
x
+
2
c
y
+
e
=
0
,
{\displaystyle 2bx+2cy+e=0\,\!,}
z rešitvijo
x
=
−
d
c
2
b
2
+
2
a
c
−
b
e
{\displaystyle x={\frac {-dc}{2b^{2}+2ac-be}}\,\!}
y
=
−
e
+
2
b
x
2
c
.
{\displaystyle y=-{\frac {e+2bx}{2c}}\,\!.}
Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je
φ
=
1
2
c
t
g
−
1
(
c
−
a
2
b
)
{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\mathrm {ctg} ^{-1}\left({\frac {c-a}{2b}}\right)}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
φ
=
0
∘
{\displaystyle \varphi =0^{\circ }}
![{\displaystyle o=4aE(e)=2\pi a\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots \right]\,\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba1ccf6fd6828b268cf03a54fe0d62786cbaf3a)
![{\displaystyle o\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\,\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c80c4a4268f317a1743b7cfb778f4c16b433f3)
