Kmitanie

Kmitajúce závažie na pružine je typickým príkladom jednoduchého oscilátora

Kmitanie alebo oscilácia je pohyb fyzikálnej sústavy (napr. hmotného bodu), pri ktorom sa systém po vychýlení vždy vráti do rovnovážnej polohy. Jedna zmena v rámci kmitania sa nazýva aj kmit (časť kmitavého pohybu, pri ktorom hmotný bod prejde všetkými polohami a vráti sa späť odkiaľ vyšiel), prechod z jednej krajnej polohy do opačnej sa niekedy nazýva kyv. Perióda je čas, za ktorý sústava vykoná jeden kmit, frekvencia je počet kmitov za jednu sekundu. Pre kmitavý pohyb je typické, že sa striedavo mení kinetická energia systému na potenciálnu a naopak.

Typickými príkladmi kmitania je kyvadlo, pri ktorom sa periodicky mení výchylka od zvislice, alebo teleso zavesené na pružine, pri ktorom sa po vychýlení periodicky mení jeho výšková súradnica.

Základné pojmy

Pri kmitaní a iných periodických dejoch sa periodicky mení nejaká veličina, označme ju $u(t)$ , kde $t$ v zátvorke znamená, že veličina $u$ je funkciou času. Vo väčšine prípadov existuje istá rovnovážna hodnota veličiny $u_{0}$ okolo ktorej skutočná hodnota osciluje. Rozdiel oproti rovnovážnej polohe nazývame výchylkou a budeme ju označovať ako $x(t)$ .

Čas, za ktorý sústava vykoná jeden kmit (osciláciu), sa nazýva perióda, zvyčajne označovaná ako T. Je to najmenší časový interval, pre ktorý v každom okamihu $t$ platí

x(t+T)=x(t)

Prevrátenou hodnotou periódy je frekvencia, zvyčajne označovaná $f$ . Jej jednotkou je Hertz, pričom $1{\mbox{Hz}}=1{\mbox{s}}^{-1}$ . Frekvencia oscilátora udáva počet kmitov, ktoré nastanú za jednu sekundu. Poznatok možno vyjadriť vzťahom

f={\frac {1}{T}}

Pri harmonickom kmitavom pohybe je niekedy užitočné pracovať s uhlovou frekvenciou $\omega$ . Jej význam možno lepšie pochopiť pomocou analógie s pohybom po kružnici (uvedená nižšie). Jednotkou uhlovej frekvencie je radián za sekundu. S bežnou frekvenciou je viazaná vzťahom

\omega =2\pi f

Amplitúda $x_{m}$ je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy $u_{0}$ .

Harmonický kmitavý pohyb

Harmonický kmitavý pohyb je typický tým, že priebeh oscilujúcej veličiny je opísaný sínusoidou. Možno to vyjadriť priamou úmerou

x(t)\propto {\sin {\omega t}}

Väčšina kmitavých pohybov je harmonická v prvom priblížení pre malé výchylky. Napríklad pohyb kyvadla je tým presnejšie opísaný rovnicami pre harmonický kmitavý pohyb, čím je menšia maximálna výchylka závažia od zvislice. Väčšinou sa udáva, že dostatočnú presnosť dosiahneme pre výchylky menšie ako 5°.

Aby pohyb telesa, resp. časový vývoj systému bol harmonický kmitavý, stačí aby bola splnená pohybová rovnica

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx

kde $x$ je časom sa meniaca výchylka z rovnovážnej polohy a $k$ je kladná konštanta úmernosti. Riešenie tejto diferenciálnej rovnice je

x(t)=x_{m}\sin {(\omega t+\phi _{0})}

kde $x_{m}$ je amplitúda kmitov a $\phi _{0}$ fázový posun, obe konštanty v rovnici možno určiť z počiatočných podmienok. Ďalší parameter v rovnici je už spomínaná uhlová frekvencia $\omega$ , ktorá je s konštantou úmernosti previazaná jednoduchým vzťahom

\omega ={\sqrt {k}}

Z toho je zrejmé, že pre frekvenciu $f$ a periódu $T$ oscilácii platia rovnice

f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {\sqrt {k}}{2\pi }}

T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\sqrt {k}}}

Analógia k pohybu po kružnici

Nech sa hmotný bod pohybuje po kružnici ako na obrázku vpravo konštantnou uhlovou rýchlosťou $\omega$ , pričom

\omega ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}

Pre stredový uhol teda platí $\theta =\omega t+\theta _{0}$ , kde $\theta _{0}$ je uhol prejdený v čase $t=0$ a teda je určený počiatočnými podmienkami. Ak je polomer kružnice $R$ , tak potom pre okamžité súradnice hmotného bodu platia rovnice

x(t)=R\cos {(\omega t+\theta _{0})}

y(t)=R\sin {(\omega t+\theta _{0})}

Ak sa bližšie pozrieme na rovnicu pre ypsilonovú súradnicu hmotného bodu, všimneme si, že je rovnaká ako rovnica opisujúca harmonický kmitavý pohyb, ktorého amplitúda je rovná polomeru $R$ kružnice, uhlová frekvencia je rovná uhlovej rýchlosti $\omega$ hmotného bodu a fázové posuny sú rovnaké. Tento harmonický kmitavý pohyb je možné aj pozorovať jednoduchým experimentom. Ak systém na obrázku zľava osvetlíme rovnobežnými svetelnými lúčmi, na tienidle postavenom vpravo od systému bude konať tieň hmotného bodu naozaj harmonický kmitavý pohyb.

Energia oscilujúceho systému

Pre oscilujúci systém je typické, že sa striedavo premieňa potenciálna energia na kinetickú a naopak. Ak je pravidelne sa meniaca výchylka $x$ a ak časovú deriváciu zjednodušene označíme bodkou nad derivovanou veličinou, tak platí

E_{p}={\frac {1}{2}}K^{*}x^{2}

E_{k}={\frac {1}{2}}M^{*}{\dot {x}}^{2}

kde $K^{*}$ označuje tuhosť systému. Istým spôsobom hovorí o tom, ako veľmi je ťažké vychýliť teleso z rovnovážnej polohy a $M^{*}$ hovorí o zotrvačných schopnostiach systému.

Ak sa nám podarí výpočtom určiť hodnoty veličín $K^{*}$ a $M^{*}$ , potom je veľmi jednoduché určiť charakteristiky kmitavého pohybu. S uhlovou frekvenciou sú vždy zviazané vzťahom

\omega ={\sqrt {\frac {K^{*}}{M^{*}}}}

Pri harmonickom kmitavom pohybe, kde nedochádza k žiadnym stratám energie v dôsledku trenia alebo iných odporových síl, platí zákon zachovania mechanickej energie, teda súčet kinetickej a potenciálnej energie oscilátora je rovný jeho celkovej energii, ktorej hodnota sa počas oscilácií nemení.

E_{p}+E_{k}=E=\mathrm {const}

Jednoduché oscilátory

Bodky nad niektorými veličinami v tabuľke sú zjednodušený zápis časovej derivácie.

Opis	Potenciálna energia	Kinetická energia	Uhlová rýchlosť	Frekvencia	Perióda
Teleso na pružine. Hmotný bod s hmotnosťou $m$ zavesené na ideálnej pružine tuhosti $k$ . Výchylkou je výška $x$ telesa nad rovnovážnou polohou. Pre rýchlosť $v$ telesa platí $v={\dot {x}}$	$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$	$E_{k}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$	$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$	$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$	$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$
Matematické kyvadlo. Teleso s hmotnosťou $m$ zavesené na niti s dĺžkou $l$ . Gravitačné zrýchlenie je $g$ . Výchylkou je uhol medzi niťou a zvislicou. Uvedené vzťahy platia len pre malé uhly $\theta$ , pri väčších uhloch vzťahy potrebujú isté korekcie podľa grafu.	$E_{p}={\frac {1}{2}}mlg\theta ^{2}$	$E_{k}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}$	$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$	$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{l}}}$	$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$
Fyzikálne kyvadlo. Teleso s hmotnosťou $m$ zavesené tak, že rotuje okolo osi, vzhľadom na ktorú má moment zotrvačnosti $I$ . Vzdialenosť ťažiska (pôsobiska tiažovej sily) od osi otáčania je $r_{T}$ . Gravitačné zrýchlenie je $g$ . Výchylkou je uhol medzi niťou a zvislicou, ktorý by mal byť čo najmenší presne tak, ako pri matematickom kyvadle.	$E_{p}={\frac {1}{2}}mr_{T}g\theta ^{2}$	$E_{k}={\frac {1}{2}}I{\dot {\theta }}^{2}$	$\omega ={\sqrt {\frac {mr_{T}g}{I}}}$	$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mr_{T}g}{I}}}$	$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mr_{T}g}}}$
Elektrický LC obvod. Obsahuje len kondenzátor s kapacitou $C$ a cievku s indukčnosťou $L$ . Vonkajšími vplyvmi možno vybudiť kmitanie, kde sa striedavo bude nabíjať kondenzátor a obvodom bude tiecť prúd (potom nasleduje nabitie kondenzátora na opačnú polaritu a prúd opačného smeru a cyklus sa opakuje). Náboj označujeme $Q$ , prúd $I$ . Platí $I={\dot {Q}}$	$E_{p}={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}$	$E_{k}={\frac {1}{2}}L{\dot {Q}}^{2}$	$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$	$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$	$T=2\pi {\sqrt {LC}}$

Zložité oscilátory

Vo svete okolo nás existuje skutočne nespočetné množstvo vecí, ktoré môžu kmitať. Ich pohyb je vo väčšine prípadov tlmený. V kryštáloch kmitajú atómy okolo svojich rovnovážnych polôh, dieťa na hojdačke je v istom zmysle zložitým fyzikálnym kyvadlom, teleso zavesené na skrútenom špagáte bude konať oscilácie v torzii a každá halúzka na strome, ktorú ohneme a pustíme sa začne nejako kymácať. To všetko možno naozaj považovať za oscilátory. Ak sa rozruch šíri prostredím, môže vzniknúť vlna. To je napríklad prípad gitary alebo ladičky.

Tu sú príklady jednoduchých i zložitých oscilátorov, rezonátorov, prípadne vlnení z rôznych oblastí vedy:

Mechanika

Elektromagnetizmus

Biológia

Systém lovec-korisť

Tlmené kmity

Rovnice tlmených kmitov

V reálnom svete vždy existuje trenie a rôzne iné odporové sily, ktoré spôsobujú, že oscilujúci systém postupne stráca energiu a jeho amplitúda sa s časom zmenšuje. Akokoľvek by sme sa snažili zamedzovať týmto nepriaznivým vplyvom, obmedzuje nás druhý termodynamický zákon, podľa ktorého sa mechanická energia postupne premieňa na vnútornú tepelnú energiu. Závislosť odporových síl od výchylky a jej časovej derivácie môže byť vo všeobecnosti veľmi zložitá. V najjednoduchšom modeli je odporová sila priamo úmerná prvej časovej derivácii výchylky a pôsobí proti narastaniu výchylky. V prípade telesa na obrázku vpravo odporová sila vzduchu pôsobí vždy proti smeru pohybu tohto telesa.

V spomínanom ideálnom prípade možno zapísať pre časový vývoj výchylky nasledovnú diferenciálnu rovnicu:

M^{*}{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+K^{*}x=0

kde $m$ , $k$ a $c$ by sme získali analýzou síl pôsobiacich na systém. Ak obe strany rovnice vydelíme $M^{*}$ , dostaneme

{\ddot {x}}+{c \over M^{*}}{\dot {x}}+{K^{*} \over M^{*}}x=0

Aby sa rovnica zjednodušila, zaveďme substitúcie

\omega _{0}={\sqrt {K^{*} \over M^{*}}}

\zeta ={c \over 2{\sqrt {K^{*}M^{*}}}}.

Prvý parameter sa nazýva vlastná uhlová frekvencia a určuje uhlovú frekvenciu v prípade, keby neexistovali žiadne tlmiace vplyvy. Druhý parameter je tlmenie. Tlmenie je bezrozmerná fyzikálna veličina.

Diferenciálna rovnica teraz nadobudla tvar

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Táto diferenciálna rovnica sa väčšinou rieši s predpokladom, že hľadané riešenie $x(t)$ má tvar

x=e^{\gamma t}

kde $\gamma$ je vo všeobecnosti komplexné číslo. Tento predpoklad nie je len tipom, ale vychádza z poznatku, že deriváciou exponenciálnej funkcie je opäť funkcia exponenciálna funkcia a v našej rovnice sa súčet jednotlivých derivácií musí rovnať nule.

Po dosadení a vydelení členom $e^{\gamma t}$ dostávame jednoduchú rovnicu

\gamma ^{2}+2\zeta \omega _{0}\gamma +\omega _{0}^{2}=0

To je jednoduchá kvadratická rovnica s dvoma riešeniami

\gamma _{1,2}=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}})

Správanie systému pri tlmených kmitoch

V závilosti na veľkosti tlmenia $\zeta$ možno rozlíšiť 3 situácie opísané v tabuľke

Tlmenie

Hodnota

\gamma

Opis správania

Ilustračný diagram

\zeta <1

\gamma

je komplexné číslo

Systém bude oscilovať okolo rovnovážnej polohy, no amplitúda bude s časom klesať. Pre uhlovú frekvenciu kmitov platí vzťah:

$\omega =\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$

\zeta =1

\gamma _{1,2}=\pm \omega _{0}

Kritické tlmenie

Priebeh oscilácií je opísaný rovnicou

$x(t)={\frac {1}{2}}((x(0)+{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega _{0}}})e^{\omega _{0}t}+(x(0)-{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega _{0}}})e^{-\omega _{0}t})$

\zeta >1

\gamma

je reálne číslo

Komplikovaný priebeh, ide o veľmi veľké tlmenie a oscilácie preto nemožno pozorovať

Nútené kmity

O nútených kmitoch hovoríme, ak existuje vonkajšia budiaca sila $F(t)$ . Uvažujúc tlmenie má pohybová rovnica tvar

M^{*}{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+K^{*}x=F(t)

V ideálnom prípade má budiaca sila harmonický priebeh s uhlovou frekvenciou $\omega$ . V ustálenom stave je potom frekvencia oscilácií sústavy rovná frekvencii budiacej sily. Amplitúda je funkciou budiacej frekvencie. V prípade, že budiaca frenvencia $\omega$ je veľmi blízka vlastnej frekvencii $\omega _{0}$ oscilátora, dochádza k rezonancii. Ide o jav, keď malá budiaca sila vybudí systém k oscilácií s veľmi veľkými amplitúdami. Každý oscilátor možno charakterizovať rezonančnou krivkou a kvalitou oscilátora. Rezonančná krivka je závislosť amplitúdy oscilácií od budiacej frekvencie, kvalita oscilátora súvisí so šírkou rezonančnej krivky.

Využitie rovnice harmonických kmitov pri riešení fyzikálnych úloh

Harmonické kmity majú široké uplatnenie aj pri riešení fyzikálnych úloh na prvý pohľad nesúvisiacich s kmitavým pohybom. Využívame pri tom jednoduchý princíp, že rovnaké rovnice majú rovnaké riešenie. Zmena parametra v rovnici spôsobí zmenu parametrov v jej riešení. Ale, až na konštanty je riešenie rovnaké. Tu sú dva príklady takýchto úloh.

Vlak na naklonenej rovine

Pred úpätím naklonenej roviny so sklonom $\alpha$ voči zemi sa nachádza homogénny vlak dĺžky $l$ hmotnosti $m$ pohybujúci sa rýchlosťou $v$ smerom ku kopcu. Vlak začne stúpať na kopec, v akom čase od tohto okamihu sa bude nachádzať lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy? Predpokladajte, že vlak nemá dostatočnú rýchlosť na to, aby vyšiel na kopec celý.

Riešenie:

Rozoberme situáciu v momente, keď sa lokomotíva nachádza v určitej vzdialenosti od úpätia kopca $d$ . Rozoberme sily pôsobiace na vlak v tomto okamihu. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na zemi pôsobí nulová výslednica síl, keďže tiažová sila sa vykompenzovala s reakciou podložky. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na kopci pôsobí len zložka tiažovej sily rovnobežná so sklonom kopca, keďže zložka kolmá na kopec sa vykompenzovala s reakciou kopca. Na jednotku dĺžky vlaku pripadá hmotnosť ${\frac {m}{l}}$ , hmotnosť časti vlaku nachádzajúcej sa na kopci teda bude:

{\frac {md}{l}}

Veľkosť tiažovej sily pôsobiacej na túto časť vlaku potom bude:

{\frac {mgd}{l}}

Nás však zaujíma len zložka rovnobežná s kopcom, takže dostávame výslednú silu:

F_{v}={\frac {mgd\sin(\alpha )}{l}}

Ktorá urýchluje celý vlak hmotnosti $m$ , zodpovedá teda zrýchleniu:

a={\frac {gd\sin(\alpha )}{l}}

Alebo:

a=kd

, kde:

k={\frac {g\sin(\alpha )}{l}}

Čo je rovnica harmonických kmitov, pre ktorých periódu dostávame vzťah:

T={\frac {2\pi }{\sqrt {k}}}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g\sin(\alpha )}}}

Medzi rovnovážnou polohou (v našom prípade čas, kedy začal vlak liezť na kopec) a maximálnou výchylkou (čas kedy sa nachádzala lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy) uplynie pri harmonických kmitoch jedna štvrtina periódy. Ale to je presne hľadaný čas a dostávame riešenie úlohy:

t={\frac {T}{4}}={\frac {1}{2}}\pi {\sqrt {\frac {l}{g\sin(\alpha )}}}

Voda v L trubici

Dve ramená trubice tvaru L s prierezom $S$ sú oddelené prepážkou. Zvislé rameno je naplnené vodou až do výšky $h$ . Zrazu prepážku odstránime, za aký čas vytečie zo zvislého ramena všetka voda?

Riešenie:

Rozoberme situáciu v momente, keď je hladina vody v zvislej trubici v určitej výške $d$ . Na časť vody nachádzajúcu sa vo zvislej časti trubice pôsobí v smere pohybu tiažová sila veľkosti:

F_{g}=Sd\rho g

.

Na zvyšok vody nemá tiažová sila žiaden pohybový účinok, keďže je kolmá na smer pohybu vody (vykompenzuje sa s reakciou trubice). Sila $F_{g}$ teda spôsobuje všetko zrýchlenie vody, ktorej hmotnosť je: $Sh\rho$ , zrýchlenie je teda:

a={\frac {dg}{h}}

Alebo:

a=kd

, kde:

k={\frac {g}{h}}

Čo je rovnica harmonických kmitov, pre ktorých periódu dostávame vzťah:

T={\frac {2\pi }{\sqrt {k}}}=2\pi {\sqrt {\frac {h}{g}}}

Medzi rovnovážnou polohou (v našom prípade čas, kedy vytečie všetka voda) a maximálnou výchylkou (čas kedy sa nachádzala hladina vody v zvislej trubici vo výške $h$ ) uplynie pri harmonických kmitoch jedna štvrtina periódy. Ale to je presne hľadaný čas a dostávame riešenie úlohy:

t={\frac {T}{4}}={\frac {1}{2}}\pi {\sqrt {\frac {h}{g}}}

Pozri aj