Podmnožina

Podmnožina množiny $A$ je taká množina $B$, že všetky prvky množiny $B$ sú zároveň prvkami množiny $A$. To, že $B$ je podmnožinou $A$ sa symbolicky zapisuje

B je podmnožina A, A je nadmnožina B

$B\subseteq A$.

Podmnožina $A$ množiny $B$ je vlastná podmnožina, ak existuje aspoň jedno $x$ v množine $B$ také, že $x\notin A$. To, že $A$ je vlastná podmnožina množiny $B$, sa zapisuje

$A\subset B$.

Ak sa pracuje s podmnožinami nejakej pevne zvolenej základnej množiny $U$, je vzťah "byť podmnožinou" binárna relácia na systéme všetkých podmnožín $U$. Táto relácia sa nazýva relácia inklúzie alebo jednoducho inklúzia. Vzťahu "byť vlastnou podmnožinou" sa hovorí relácia ostrej inklúzie alebo jednoducho ostrá inklúzia.

Vlastnosti

• prázdna množina je podmnožinou každej množiny.
• každá množina je svojou podmnožinou. Čiže inklúzia je reflexívna relácia.
• ak $A\subseteq B$ a $B\subseteq A$, tak $\textstyle A=B$. Čiže, inklúzia je antisymetrická relácia.
• ak $A\subseteq B$ a $B\subseteq C$, tak $A\subseteq C$. Čiže, inklúzia je tranzitívna relácia.
• Z predchádzajúcich troch bodov vyplýva, že inklúzia je relácia usporiadania.
• ak $A\subseteq B$, tak $A\cap B=A$.
• $N\subset Z\subset Q\subset R\subset C$

Externé odkazy

• Podmnožina na pohodovamatematika.sk