Hiperboloid

Hiperboloid je ploha II reda u $\mathbb {R} ^{3}$ zadata jednačinama:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\quad$ (jednokrilni)
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\quad$ (dvokrilni)

Kada je $a\neq b$ , naziva se eliptički hiperboloid. Kada je $a=b$ , hiperboloid je rotaciona ploha.

Može nastati na nekoliko načina.

Rotacijom hiperbole oko njene imaginarne ose

Rotacijom prave oko njemu mimoilazne ose.
Bilo koje tri mimoilazne prave koje nisu paralelne s istom ravni ravnalice su jednokrilnog hiperboloida. Njihove transverzale čine izvodnice jednog sistema.

Jednokrilni hiperboloid ima dva sistema izvodnica tj. svakom njegovom tačkom prolaze dvije izvodnice, svaka iz jednog sistema.

Sve izvodnice istog sistema međusobno su mimoilazne, a svaka od njih siječe sve izvodnice drugog sistema. Bilo koje tri izvodnice jednog sistema možemo odabrati za ravnalice jednokrilnog hiperboloida.

Dvokrilni rotacioni hiperboloid nastaje rotacijom hiperbole oko prave koja prolaze kroz žiže.

Jednokrilni hiperboloidi

Jednokrilni eliptički hiperboloid

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\quad$

Linijska ploha s dva sistema izvodnica, tj. svakom tačkom te plohe prolaze dvije prave koje leže na toj plohi.

Realni presjeci ove plohe su: elipse, kružnice, parabole, hiperbole koje se raspadaju na par realnih pravi (presjeci plohe s njenim tangencijalnim ravnima).

Jednokrilni rotacioni hiperboloid

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\quad$

To je poseban slučaj gornje plohe (za $a=b$ ). Nastaje rotacijom hiperbole oko njene imaginarne ose ili rotacijom prave oko ose s kojom je ta prava mimoilazna. Ta prava je izvodnica koja pripada bilo kojem od dva sistema izvodnica ove plohe.

Parametarske jednačine

Jednokrilni hiperboloid

Ako se kao parametri uzmu $u\in [0,2\pi )$ i $v\in \mathbb {R}$ onda se jednokrilni eliptički hiperboloid može parametrizovati na više načina: $x(u,v)=a{\sqrt {1+v^{2}}}\cos u$ ,

$y(u,v)=b{\sqrt {1+v^{2}}}\sin u$ ,

$z(u,v)=cu$

ili

$x(u,v)=a\cosh v\cos u$

$y(u,v)=b\cosh v\sin u$

$z(u,v)=c\sinh v$

ili

$x(u,v)=a(\cos u\mp v\sin u)$

$y(u,v)=b(\sin u\pm v\cos u$

$z(u,v)=\pm cu$ .

U slučaju kad je $a=b$ drugi navedeni način parametrizacije realizuje jednokrilni hiperboloid rotacijom hiperbole, a treči prave oko $z$ ose.

Dvokrilni hiperboloid

Parametarska jednačina dvokrilnog eliptičkog hiperboloida je:

$x(u,v)=a\sinh v\cos u$

$y(u,v)=b\sinh v\sin u$

$z(u,v)=\pm c\sinh v$ , gdje $u\in [0,pi)$ i $v\in \mathbb {R}$ .

Poopštenje kanonske jednačine

Hiperboloid sa centrom u tački $\mathbf {c}$ , proizvoljne orjentacije, definiše se jednačinom

$(\mathbf {x} -\mathbf {c} )^{T}A(\mathbf {x} -\mathbf {c} )=1$ gdje su $\mathbf {x}$ i $\mathbf {c}$ vektori dimenzije 3x1, a matrica, $A$ je dimenzija 3x3 i mora biti regularna $(detA\neq 0)$ i simetrična $(A=A^{T})$ .

Presjeci

U svakoj tački jednokrilnog hiperboloida dirna ravan određena dvjema izvodnicama koje se u njoj sijeku.

Osim dviju izvodnica presjek jednokrilnog hiperboloida može biti:

Hiperbola (ako je presječna ravan paralelna s dvije njegove ukrštene izvodnice)
Parabola (ako je presječna ravan paralelna s dvije njegove paralelne izvodnice)
Elipsa (ako presječna ravan nije paralelna niti s jednom njegovom izvodnicom).
Dvije prave koje se sijeku
Dvije pralelne prave

Presjek dvpkrilnog hipernoloida i ravni može biti

U prostorima dimenzije veče od tri

U matematici viših dimenzija često se spominju imaginarni hiperboloidi. Ako se posmatra pseudo-Euklidski prostor i polinom

$p(x)=(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})-((x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))$ , za $k<n$

dio prostira $\{x|p(x)=c\}$ , gdje je $c$ c konstanta, naziva se hiperboloid. Ovakvi hiperboloidi nazivaju i kvazi-sfere zbog sličnosti izmedju sfere i hiperboloida.

Vanjske veze