Liggi di Kepleru

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I liggi di Kepleru su tri liggi ra fisica scupierti da Giuvanni Kepleru e 'cca riguardunu u movimentu re pianeti ro sistema solari attuornu o suli (ma ovviamenti si puonu generalizzari a qualunqui sistema stellari).

Su essenzialmenti tri:

1. I pianeti si muovunu attuornu o suli seguiennu na orbita ellittica ri cui u suli è unu re fuochi.
2. No sa movimentu attuornu o suli, u vettori posizioni ro pianeta a'ntuppa i stissi arii ne stissi istanti ri tiempu.
3. U quadratu ro tiempu ca un pianeta a'mpiega pi girari attuornu o suli è proporzionali o cubu ra distanza ro suli.

I tri liggi di Kepleru si puonu 'ddimostrari direttamenti partiennu re tri liggi ra dinamica ri Newton, comu ora veni spiegatu in seguitu.

'Ddimostrazioni re liggi di Kepleru

Prima liggi di Kepleru

I pianeti si muovunu attuornu o suli seguiennu na orbita ellittica ri cui u suli è unu re fuochi.

'Ddimostrazioni

A liggi oraria di nu pianeta ca ruota attuornu o suli eni soluzioni di la seguenti equazioni differenziali:

$$ m\vec \ddot r = -G\frac{m_p m_S}{r^2}\hat r$$

Unni $$m_p$$ eni a massa ro pianeta, $$m_S$$ eni a massa ro suli, $$G$$ eni a costanti di gravitazioni universali, u vitturi $$\vec r$$ eni chiddu ca collega u suli co pianeta no corsu di lu motu suou.

Sacunna liggi di Kepleru

No sa movimentu attuornu o suli, u vettori posizioni ro pianeta a'ntuppa i stissi arii ne stissi istanti ri tiempu.

'Ddimostrazioni

In costruzioni.......

Terza liggi di Kepleru

U quadratu ro tiempu ca un pianeta a'mpiega pi girari attuornu o suli è proporzionali o cubu ra distanza ro suli.

'Ddimostrazioni

Comu si po virri na figura, ni ogni istanti ro sa percorsu attuornu o suli, a forza centrifuga, ca è chidda ca teni u pianeta in orbita attuornu o suli, assiri a stissa ra forza ri gravità ca è chidda ca attrai a terra na direzioni 'nto suli. Putiemu scriviri ${\frac {m_{1}V^{2}}{R}}=F_{c}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{R^{2}}}=F_{g}$

Supponiennu ca l'orbita ra terra sia perfettamenti circolari (a cosa si pò assumiri pirchì siccomu l'eccentricità ra terra è assai vascia si pò approssimari l'orbita ra terra comu na circunfirenza) a velocità eni:

$V={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {2\pi R}{T}}$

aviennu ciamatu T u tiempu in cui a terra fa nu giru attuornu o suli. Sostituienno nell'ugualianza ri prima otteniemu a seguenti: ${\frac {4m_{1}\pi ^{2}R^{2}}{RT^{2}}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{R^{2}}}$

Sistimannu sta equazioni si pò otteniri cu facili passagghi algebrici

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}R}{Gm_{2}}}R^{3}$

Siccomu a quantità $k={\frac {4\pi ^{2}R}{Gm_{2}}}$ è na costanti putiemu riri ca u quadratu ro tiempu è proporzionali o cubu ra distanza ro suli, comu si ulia dimostrari.

C.V.D