Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.
Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.
Данное уравнение можно объяснить следующим образом. Скорость изменения температуры во времени пропорциональна кривизне распределения температуры по пространству (второй производной). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" температуры в теле (чем более острые "горбы"), тем быстрее в этих местах идёт выравнивание температуры.
Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:
где — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция является непрерывной и ограниченной при и всех значениях аргумента .
Для однородной задачи Коши имеют место следующие свойства[2]:
Принцип максимума (теорема о максимуме и минимуме): Решение однородной задачи Коши удовлетворяет неравенствам при всех и .[3]
Теорема существования и единственности: Для любого решение однородной задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальной функции в полосе . Другими словами, данная задача Коши является корректно поставленной[4].
Ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием , где — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:
где — стандартный скалярный квадрат вектора . Иногда ядро уравнения теплопроводности называют также его фундаментальным решением, хотя чаще всего под фундаментальным решением понимается функция, которая получается из ядра умножением на функцию Хевисайда.
Интеграл Пуассона: В пространстве с декартовыми координатами решение однородной задачи Коши задается в виде интегральной формулы, называемой интегралом Пуассона. Именно, при всех есть свёртка по пространственной переменной ядра с начальной функцией:
Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши (отметим, что неограниченных решений существует бесконечно много).
Физический парадокс: из формулы Пуассона следует, что если начальная функция равна нулю всюду, за исключением некоторой ограниченной области, например, заданной условием , в которой она положительна, то через сколь угодно малый промежуток времени решение будет строго положительным во всех точках пространства, со сколь угодно большими значениями . Отсюда следует парадоксальное с физической точки зрения утверждение, что тепло распространяется с бесконечной скоростью. Объяснение парадокса состоит в том, что уравнение теплопроводности не вполне точно описывает реальный физический процесс распространения тепла. Практика показывает, что в большинстве случаев это уравнение всё же даёт достаточно хорошее приближение[2].
Для случая одной пространственной переменной x (задача о нагревании или охлаждении стержня) уравнение теплопроводности принимает вид
Для этого уравнения можно ставить и решать различные краевые задачи, один из методов решения которых предложен французским математиком Фурье и носит его имя[6]
Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим
Разделим выражение на :
Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от , а в правой — только от , то, фиксируя любое значение в правой части, получаем, что для любого значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:
Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:
откуда (, так как в противном случае мы имели бы решение , а мы ищем только нетривиальные решения).
Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет , а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.
Общий вид решения
Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.
Общий вид решения
Подставим граничные условия:
Так как мы ищем только нетривиальные решения, нам не подходит, следовательно
Отсюда
C учетом найденных , выведем общее решение линейного дифференциального уравнения
Должен получиться ответ
Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:
В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы, то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.
Осталось определить значение константы (зависящей от ) из начального условия
Для того, чтобы определить значение , необходимо разложить функцию в ряд Фурье:
Crank, J.; Nicolson, P.; Hartree, D. R. (1947), "A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 43: 50—67, Bibcode:1947PCPS...43...50C, doi:10.1017/S0305004100023197
John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4th ed.), Springer, ISBN978-0-387-90609-6
Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction, Cambridge University Press
Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN978-0-19-853368-9
Thambynayagam, R. K. M. (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill Professional, ISBN978-0-07-175184-1
Perona, P; Malik, J. (1990), "Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12 (7): 629—639
↑Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III, § 1. — Любое издание.
↑ 12Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
↑Если наряду с ограниченными решениями рассматривать неограниченные, принцип максимума не верен: из ограниченности начальных данных не следует ограниченность решения. Соответственно, нет и единственности решения. См., например, A. Tychonoff, “Théorèmes d'unicité pour l'équation de la chaleur”, Матем. сб., 42:2 (1935), 199–216
↑Утверждения о единственности и непрерывной зависимости решения являются простым следствием принципа максимума.