Уравнение Фоккера — Планка

Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера — Планка.

Уравнение Фоккера — Планка - Колмогорова — одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры: размер (в теории коалесценции), масса и т. д.

Определение

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности $W(\mathbf {v} ,\;t)$, описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале $(\mathbf {v} ,\;\mathbf {v} +d\mathbf {v} )$, если в момент времени 0 она имела начальную скорость $\mathbf {v} _{0}$, и записать для $W(\mathbf {v} ,\;t)$ уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для $N$ переменных:

${\frac {\partial W}{\partial t}}=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})\right]W,$

где $D^{1}$ — вектор сноса и $D^{2}$ — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},\;t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},\;t)\,d\mathbf {B} _{t},$

где $\mathbf {X} _{t}\in \mathbb {R} ^{N}$ — функция состояния системы, а $\mathbf {B} _{t}\in \mathbb {R} ^{M}$ — стандартное $N$-мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как $\mathbf {X} _{0}\sim W(\mathbf {x} ,\;0)$, то плотность вероятности $W(\mathbf {x} ,\;t)$ состояния системы $\mathbf {X} _{t}$ является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

$D_{i}^{1}(\mathbf {x} ,\;t)=\mu _{i}(\mathbf {x} ,\;t),$

$D_{ij}^{2}(\mathbf {x} ,\;t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,\;t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,\;t).$

Пример

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

$\mathrm {d} X_{t}=\mathrm {d} B_{t}.\$

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

${\frac {\partial W(x,\;t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}W(x,\;t)}{\partial x^{2}}},$

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае

В одномерном случае УФП приобретает вид:

${\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}(A(x,\;t)f(x,\;t))+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {B(x,\;t)}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,\;t)\right).$

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

$f(x,\;t)=p(x,\;t|x_{0},\;t_{0}),$ (то есть значение функции $f(x,\;t)$ вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью $x\$ и временно́й осью $t\$, в интервалы $x-x_{0}\$ и $t-t_{0}\$ соответственно) при любом начальном значении $x_{0}\$ и $t_{0}\$ и начальном условии $p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})$, где $\delta (x-x_{0})\$ — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени $t_{0}\$ функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности $p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_{0},\;t_{0})\,dx_{0}=\int p(x,\;t|x_{0},\;t_{0})p(x_{0},t_{0})\,dx_{0}.$ Тогда, УФП справедливо для вероятности $p(x,\;t)$ с начальным условием $p(x,\;t)|_{t=t_{0}}=p(x,\;t_{0})$, которое менее сингулярно, чем $p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})$. Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

$dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+{\sqrt {B(x(t),\;t)}}\,dW(t)$

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Вывод

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым (переиздано в).

См. также

• Цепочка уравнений Боголюбова
• Уравнение Лиувилля
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнения Навье — Стокса
• Формула Фейнмана — Каца

Литература

• Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
• Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с. — («Теоретическая физика», том X). — 50 000 экз.