Точки Вектена
Точки Вектена | |
---|---|
![]() Внешняя и внутренняя точки Вектена | |
Барицентрические координаты |
|
Трилинейные координаты |
(знак «+» для внешней, знак «-» для внутренней) |
Код ЭЦТ |
|
В планиметрии внешняя и внутренняя точки Вектена — точки, которые строятся на основе данного треугольника аналогично первой и второй точкам Наполеона. Однако для построения выбираются центры не равносторонних треугольников, а квадратов, построенных на сторонах данного треугольника (см. рис.).
Внешняя точка Вектена
[править | править код]Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами . Тогда линии и пересекаются в одной точке, называемой внешней точкой Вектена треугольника ABC.
В Энциклопедии центров треугольника внешняя точка Вектена обозначается как X(485)[1].
История
[править | править код]Внешняя точка Вектена названа так в начале 19-го века в честь французского математика Вектена, который изучал математику в одно время с Жергонном (Joseph Diaz Gergonne) в Ниме (Nîmes) и опубликовал своё исследование о фигуре в виде трех квадратов, построенной на трех сторонах треугольника в 1817-ом году[2]. По другим данным, это произошло в 1812/1813 годах. При этом ссылаются на работу[3].
Внутренняя точка Вектена
[править | править код]Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB вовнутрь построим три квадрата соответственно с центрами . Тогда линии и пересекаются в одной точке, называемой внутренней точкой Вектена треугольника ABC. В Энциклопедии центров треугольника внутренняя точка Вектена обозначается как X(486)[1].
Прямая пересекает прямую Эйлера в Центре девяти точек треугольника . Точки Вектена лежат на гиперболе Киперта.
Положение на гиперболе Киперта
[править | править код]Координаты внешней и внутренней точек Вектена получаются из уравнения гиперболы Киперта при значениях угла при основаниях треугольников соответственно π/4 и -π/4.
Ассоциации
[править | править код]Рисунок выше для построения внешней точки Вектена в случае, если оно проводится для прямоугольного треугольника совпадает с рисунком одного из доказательств теоремы Пифагора (см. на рис. ниже так называемые пифагоровы штаны).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pythagorean.svg/220px-Pythagorean.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Teorema_de_Pit%C3%A1goras.Euclides.svg/220px-Teorema_de_Pit%C3%A1goras.Euclides.svg.png)
См. также
[править | править код]- Точки Наполеона — пара треугольных центров, построенных аналогичным образом с использованием равносторонних треугольников вместо квадратов
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers . Дата обращения: 15 января 2016. Архивировано 19 апреля 2012 года.
- ↑ Ayme, Jean-Louis, La Figure de Vecten (PDF), Дата обращения: 4 ноября 2014 Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine
- ↑ Peter Ladislaw Hammer, Ellis Lane Johnson, Bernhard H. Korte. Discrete Optimization II. — Amsterdam: Elsevier, 2000. — ISBN 978-0-08-086767-0.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Vecten Points (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.