Случайный процесс

Компьютерная реализация на поверхности сферы. Винеровский процесс считается наиболее изученным и центральным стохастическим процессом в теории вероятностей.

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Определение

Пусть $(E,{\mathfrak {B}})$ — измеримое пространство, $T$ множество значений параметра $t$. Функция $\xi =\xi (t)$ параметра $t\in T$, значениями которой являются случайные величины $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ на пространстве элементарных событий $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$ в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$, называется случайным процессом в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$.

Терминология

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция». В зависимости от вида множества $T$ часто применяются следующие термины.

• Если $T\subset \mathbb {R}$, то параметр $t\in T$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция $\{X_{t}\}$ называется случайным процессом. Если множество $T$ дискретно, например $T\subset \mathbb {N}$, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если $T\subset \mathbb {R} ^{n}$, где $n\geqslant 1$, то параметр $t\in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Основные сведения

Основной источник:

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$:

$P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1})\in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})$

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса $\xi =\xi (t)$.
Случайные процессы $\xi =\xi (t)$ и $\eta =\eta (t)$, принимающие значение в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ называются эквивалентными, если при любом $t\in T$ эквивалентны соответствующие значения $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ и $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$.

При каждом фиксированном $\omega \in \Omega$ функция $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ параметра $t$ со значениями в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ называется реализацией или траекто́рией случайного процесса $\xi =\xi (t)$. Случайный процесс $\xi =\xi (t)$ называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией $x=x(t)$ в функциональном пространстве $E=E^{T}$ всех функций на множестве $T$ со значениями в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ ; точнее, если $\Omega =X$ и $\sigma$-алгебра ${\mathfrak {A}}$ порождается всевозможными цилиндрическими множествами ${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}$, где $t_{1},...,t_{n}\in T$ и $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}}$, а значения $\xi (t)=\xi (x,t)$ имеют вид $\xi (x,t)=x(t)$, $x\in X$. Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ ($t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})$ таких, что $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$, являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$, существует непосредственно заданный случайный процесс $\xi =\xi (t)$ с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть $\xi =\xi (t)$ действительный или комплексный случайный процесс на множестве $T$, имеющий вторые моменты: $E|\xi (t)|^{2}<\infty$. Значения случайного процесса $\xi =\xi (t)$ можно рассматривать как элементы гильбертова пространства $L^{2}(\Omega )$ — пространства всех случайных величин $\eta$, $E|\eta (t)|^{2}<\infty$, со скалярным произведением

$({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}$.

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса $\xi (t)$ являются его математическое ожидание

$A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)$

и ковариационная функция

$B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}=(\xi (s),\xi (t))$.

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}-A(s){\overline {A(t)}}$, являющуюся ковариационной функцией процесса $\xi (t)-A(t)$ с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов ($s=t$) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

$B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s)}})=D(s)$.

Функция $B(s,t)$ двух переменных $s$ и $t$ является ковариационной функцией некоторого случайного процесса $\xi (t)$, $E|\xi (t)|^{2}<\infty$, тогда и только тогда, когда она для всех $n=1,2,...$ удовлетворяет следующему условию положительной определённости:

$\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k}}{\overline {c_{j}}}\geqslant 0$

для любых $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ и любых комплексных чисел $c_{1},c_{2}...,c_{n}$.

Классификация

• Случайный процесс $X(t)$ называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени $\;t_{1},t_{2},\ldots$, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом.
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$, где $n>2$, а $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$, случайные величины $(X_{t_{2}}-X_{t_{1}})$, $(X_{t_{3}}-X_{t_{2}})$, $\ldots$, $(X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})$ независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
• Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.

Примеры

• $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, где $\;X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1)$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, и $Y$ — случайная величина. Тогда $X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )$ является случайным процессом.
• Пусть $\{\xi _{n},n\in \mathbb {N} \}$ — н.о.р.с.в., неотрицательные и невырожденные ($\not =const$ п.н.). $S_{0}:=0,S_{n}:=\xi _{1}+\dots +\xi _{n}$. Тогда процесс $X_{t}=\sup\{n:S_{n}\leq t\},t\geq 0$ называется процессом восстановления, построенным по $\{\xi _{n},n\in \mathbb {N} \}$.

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Литература

• Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
• Баскаков С. И. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
• Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу «Случайные процессы» — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2003. — 168 с. ISBN 5-94073-055-8.
• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. — М.: Наука, 1991. — 384 с. — ISBN 5-02-014125-9.
• Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986. — 272 с.
• Ралф Деч. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Советское радио, 19656. — 206 с.