Сеть Петри
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Detailed_petri_net.png/220px-Detailed_petri_net.png)
Сеть Петри — математический объект, используемый для моделирования динамических дискретных систем, предложенный Карлом Петри в 1962 году.
Определяется как двудольный ориентированный мультиграф, состоящий из вершин двух типов — позиций и переходов, соединённых между собой дугами. Вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно. В позициях могут размещаться метки (маркеры), способные перемещаться по сети. Событием называют срабатывание перехода, при котором метки из входных позиций этого перехода перемещаются в выходные позиции. События происходят мгновенно либо разновременно, при выполнении некоторых условий.
Сеть Петри есть мультиграф, так как он допускает существование кратных дуг от одной вершины графа к другой. Так как дуги являются направленными, то это ориентированный мультиграф. Вершины графа можно разделить на два множества (позиции и переходы) таким образом, что каждая дуга будет направлена от элемента одного множества (позиций или переходов) к элементу другого множества (переходов или позиций); следовательно, такой граф является двудольным ориентированным мультиграфом.
Изначально разрабатывались для моделирования систем с параллельными взаимодействующими компонентами; основные положения теории связи асинхронных компонент вычислительной системы Петри сформулировал в докторской диссертации «Связь автоматов»[1].
Динамика
[править | править код]Процесс функционирования сети Петри может быть наглядно представлен графом достижимых маркировок. Состояние сети однозначно определяется её маркировкой — распределением фишек по позициям. Вершинами графа являются допустимые маркировки сети Петри, дуги помечены символом срабатывающего перехода. Дуга строится для каждого возбуждённого перехода. Построение прекращается, когда мы получаем маркировки, в которых не возбуждён ни один переход, либо маркировки, содержащиеся в графе. Отметим, что граф достижимых маркировок представляет собой автомат.
Виды сетей Петри
[править | править код]Некоторые виды сетей Петри:
- Временна́я сеть Петри — переходы обладают весом, определяющим продолжительность срабатывания (задержку).
- Стохастическая сеть Петри — задержки являются случайными величинами.
- Функциональная сеть Петри — задержки определяются как функции некоторых аргументов, например, количества меток в каких-либо позициях, состояния некоторых переходов.
- Цветная (окрашенная, раскрашенная) сеть Петри — метки могут быть различных типов, обозначаемых цветами, тип метки может быть использован как аргумент в функциональных сетях.
- Ингибиторная сеть Петри — возможны ингибиторные дуги, запрещающие срабатывания перехода, если во входной позиции, связанной с переходом ингибиторной дугой, находится метка.
- Иерархическая сеть — содержит не мгновенные переходы, в которые вложены другие, возможно, также иерархические, сети. Срабатывание такого перехода характеризует выполнение полного жизненного цикла вложенной сети.
- WF-сеть.
- Алгебраическая сеть Петри.
Анализ сетей Петри
[править | править код]Основными свойствами сети Петри являются:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Animated_Petri_net_commons.gif/220px-Animated_Petri_net_commons.gif)
- ограниченность — число меток в любой позиции сети не может превысить некоторого значения ;
- безопасность — частный случай ограниченности: ;
- сохраняемость — постоянство загрузки ресурсов: постоянна, где — число маркеров в -той позиции, — весовой коэффициент;
- достижимость — возможность перехода сети из одного заданного состояния (характеризуемого распределением меток) в другое;
- живость — возможность срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта.
В основе исследования перечисленных свойств лежит анализ достижимости. Методы анализа свойств сетей Петри основаны на использовании графов достижимых (покрывающих) маркировок, решении уравнения состояний сети и вычислении линейных инвариантов позиций и переходов. Применяются также вспомогательные методы редукции, позволяющие уменьшить размер сети Петри с сохранением её свойств, и декомпозиции[2], разделяющие исходную сеть на подсети.
Универсальная сеть Петри
[править | править код]В 1974 году Тилак Аджервала показал, что ингибиторная сеть Петри является универсальной алгоритмической системой. В монографии Котова приведён набросок доказательства, указывающий правила кодирования ингибиторной сетью программы счётчикового автомата Минского. Питерсон приводит примеры других расширенных классов сетей Петри, являющихся универсальной алгоритмической системой: синхронных и приоритетных. Построенная в явном виде универсальная сеть Петри[3] насчитывала несколько тысяч вершин и недавно была уменьшена до 56 вершин[4].
Бесконечные сети Петри
[править | править код]Бесконечные сети Петри были введены для верификации вычислительных решеток и позволяют определять свойства сетей Петри для регулярных структур (линейная, древовидная, квадратная, треугольная, шестиугольная и гиперкуб[5]) произвольного размера, полученных путём композиции типовых фрагментов.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Питерсон, 1984, стр. 11 «1.3. Зарождение теории сетей Петри».
- ↑ Зайцев Д. А. Архивная копия от 1 апреля 2022 на Wayback Machine Композиционный анализ сетей Петри // Кибернетика и системный анализ. — 2006, № 1. — С. 143—154.
- ↑ Зайцев Д. А. Архивная копия от 1 апреля 2022 на Wayback Machine Универсальная сеть Петри, Кибернетика и системный анализ, № 4, 2012, с. 24-39.
- ↑ Zaitsev D.A. Архивная копия от 1 апреля 2022 на Wayback Machine Toward the Minimal Universal Petri Net, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, 2013, 1- 12.
- ↑ Зайцев Д. А. Архивная копия от 1 апреля 2022 на Wayback Machine, Шмелева Т. Р. Верификация коммуникационных структур гиперкуба параметрическими сетями Петри, Кибернетика и системный анализ, № 1, 2010, С. 119—128.
Литература
[править | править код]- Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. — М.: Мир, 1984. — 264 с.
- Котов В. Е. Сети Петри. — М.: Наука, 1984. — 160 с.
- Слепцов А. И., Юрасов А. А. Автоматизация проектирования управляющих систем гибких автоматизированных производств / Б. Н. Малиновский. — Киев: Техніка, 1986. — 160 с.
- Ачасова С. М., Бандман О. Л. Корректность параллельных вычислительных процессов. — Новосибирск: Наука, 1990. — 253 с.
- Мараховский В. Б., Розенблюм Л. Я., Яковлев А. В. Моделирование параллельных процессов. Сети Петри. Курс для системных архитекторов, программистов, системных аналитиков, проектировщиков сложных систем управления. — Санкт-Петербург: Профессиональная литература, АйТи-Подготовка, 2014. — 400 с.
Ссылки
[править | править код]- Учебный курс МГТУ им. Баумана «Основы САПР. Моделирование». Сети Петри. Анализ сетей Петри
- Сети Петри на сайте Института автоматики и процессов управления.
- Исходные тексты примеров программ, реализующих сети Петри и строго иерархические сети.
Для улучшения этой статьи желательно:
|