Правило 72
Правило семидесяти (правило 70)[1][2], правило 72[3][4], правило 69[5] — эмпирический способ приближённой оценки срока, в течение которого величина вырастет вдвое при постоянном росте на некоторый процент.
Согласно «правилу семидесяти»,
- ,
где r — годовой процент роста, T — срок (в годах) удвоения суммы. Например, если на счёт в банке кладётся некоторая сумма денег (например, 1000 рублей) под r = 5 процентов годовых, то находящаяся на счету сумма удваивается (до 2000 рублей) за срок, примерно равный 14 годам (T ≈ 70/5).
Число 72 имеет большое количество делителей, соответствующих малым процентам (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12), и потому более удобен для использования в качестве делимого по сравнению с более точным значением 69 и более лёгким для запоминания значением 70. По этой причине в качестве названия правила может использоваться любой из этих вариантов («Правило 69», «Правило 70» или «Правило 72»).
История
[править | править код]Первое упоминание о правиле содержится у Луки Пачоли в его математическом труде «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности», вышедшей в свет в 1494 году. Между тем, Пачоли не приводит расчёт и не объясняет данное правило, что позволяет сделать вывод о том, что оно было известно и ранее.
Правило семидесяти как аппроксимация
[править | править код]«Правило семидесяти» является аппроксимацией посредством гиперболы точной формулы
Разлагая в ряд это выражение при малых R, получим . Переходя от R частей целого к процентам (r = R*100), получим . Так как ln 2 ≈ 0,693147, то наиболее точным при использовании малых процентов среди целых чисел является числитель 69.
Две кривые, задаваемые этими функциями, достаточно хорошо совпадают (см. рисунок).
Погрешность «правила семидесяти»
[править | править код]
Абсолютная погрешность при использовании «правила семидесяти» не превышает четырёх месяцев, если только годовой процент r > 1,01 %.
При r = 2% точная формула и «правило семидесяти» дают почти идентичные результаты.
Относительная погрешность, начиная с r = 2% и выше, непрерывно растёт, достигая 9.86 % при r = 25%.
В таблице представлены погрешности разных методов в зависимости от процентной ставки.
| Ставка годовых | Реальное удвоение (в годах) | По правилу 69 (в годах) | Погрешность правила 69 | По правилу 70 (в годах) | Погрешность правила 70 | По правилу 72 (в годах) | Погрешность правила 72 |
| 1,00 % | 69,66 | 69,00 | 0,9 % | 70,00 | 0,5 % | 72,00 | 3,4 % |
| 3,00 % | 23,45 | 23,00 | 1,9 % | 23,33 | 0,5 % | 24,00 | 2,3 % |
| 5,00 % | 14,21 | 13,80 | 2,9 % | 14,00 | 1,5 % | 14,40 | 1,4 % |
| 7,00 % | 10,24 | 9,86 | 3,8 % | 10,00 | 2,4 % | 10,29 | 0,4 % |
| 10,00 % | 7,27 | 6,90 | 5,1 % | 7,00 | 3,7 % | 7,20 | 1,0 % |
| 15,00 % | 4,96 | 4,60 | 7,2 % | 4,67 | 5,9 % | 4,80 | 3,2 % |
| 17,00 % | 4,41 | 4,06 | 8,1 % | 4,12 | 6,7 % | 4,24 | 4,1 % |
| 20,00 % | 3,80 | 3,45 | 9,3 % | 3,50 | 7,9 % | 3,60 | 5,3 % |
| 22,00 % | 3,49 | 3,14 | 10,02 % | 3,18 | 8,7 % | 3,27 | 6,1 % |
| 25,00 % | 3,11 | 2,76 | 11,1 % | 2,80 | 9,9 % | 2,88 | 7,3 % |
| 30,00 % | 2,64 | 2,30 | 12,9 % | 2,33 | 11,7 % | 2,40 | 9,2 % |
| 35,00 % | 2,31 | 1,97 | 14,6 % | 2,00 | 13,4 % | 2,06 | 10,9 % |
| 40,00 % | 2,06 | 1,73 | 16,3 % | 1,75 | 15,1 % | 1,80 | 12,6 % |
| 50,00 % | 1,71 | 1,38 | 19,3 % | 1,40 | 18,1 % | 1,44 | 15,8 % |
| 60,00 % | 1,47 | 1,15 | 22,0 % | 1,17 | 20,9 % | 1,20 | 18,6 % |
| 70,00 % | 1,31 | 0,99 | 24,5 % | 1,00 | 23,4 % | 1,03 | 21,3 % |
| 80,00 % | 1,18 | 0,86 | 26,9 % | 0,88 | 25,8 % | 0,90 | 23,7 % |
| 90,00 % | 1,08 | 0,77 | 29,0 % | 0,78 | 28,0 % | 0,80 | 25,9 % |
| 100,00 % | 1,00 | 0,69 | 31,0 % | 0,70 | 30,0 % | 0,72 | 28,0 % |
Жирным шрифтом выделена погрешность менее 10 %.
Модификация "правила 70"
[править | править код]При сравнении реальной формулы с приближённой (с числителем 70) при ставке 10% погрешность в днях составит 100 дней, а максимальное её значение не превысит 113 дней при ставке 41,024%, после чего снижается. Поэтому на практике, когда важна точность до двух-трёх знаков после запятой, и при использовании ставок выше 10% - можно пользоваться модифицированной версией формулы, также лёгкой для запоминания:
Другие варианты использования
[править | править код]Правило семидесяти может использоваться не только для оценки роста денежной суммы, но также для любых других процессов, описываемых экспоненциальной зависимостью.
Срок при этом не обязан исчисляться в годах; нужно только, чтобы коэффициент говорил об изменении величины за ту же единицу времени, в каких измеряется период удвоения .
Кроме того, величина не обязана увеличиваться, она может уменьшаться на r процентов за единицу времени. Тогда оценивается срок не удвоения величины, а уменьшения её вдвое.
Примеры:
- Оценка срока, в течение которого цены вырастут вдвое в результате инфляции, если за год они растут на r процентов.
- Тактовая частота процессоров растёт в среднем на r процентов в месяц. Через сколько месяцев эта частота удвоится? (см. закон Мура)
- За тысячелетие количество радиоактивного материала в слитке падает на r процентов. Через какое время количество радиоактивного материала сократится вдвое? (см. Закон радиоактивного распада)
Примечания
[править | править код]- ↑ ПРАВИЛО 70 — правило, согласно которому приблизительный срок удвоения ВНП представляет собой частное от деления числа 70 на темп роста ВНП. (Толков… Дата обращения: 27 июля 2009. Архивировано 18 февраля 2009 года.
- ↑ Словарь — Правило 70 — приблизительный способ расчета срока удвоения уровня цен при неизменном уровне инфляции. Срок удвоения (в годах) = 70 делить на годовой уровень инфляции. Е … Дата обращения: 27 июля 2009. Архивировано 12 августа 2014 года.
- ↑ Академик.ру. Правило 72 // Словарь бизнес-терминов.. — 2001.
- ↑ Словарь — Правило 72 — приближенный способ расчета срока удвоения суммы вклада при фиксированной годовой процентной ставке. Срок удвоения (в годах) = 72 делить на годовую проц … Дата обращения: 27 июля 2009. Архивировано 12 августа 2014 года.
- ↑ ПРАВИЛО ШЕСТИДЕСЯТИ ДЕВЯТИ. Дата обращения: 27 июля 2009. Архивировано 19 мая 2012 года.
См. также
[править | править код]- Правило 78 [1] Архивная копия от 19 мая 2012 на Wayback Machine
 | В другом языковом разделе есть более полная статья Rule of 72 (англ.). |