Функционал

Функциона́л — это отображение, заданное на произвольном множестве и имеющее числовую область значений: обычно множество вещественных чисел $\mathbb {R}$ или комплексных чисел $\mathbb {C}$.

Определения

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определить непрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над $\mathbb {R}$ или над $\mathbb {C}$, можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве $X$, называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$.

Функционал, заданный на топологическом пространстве $X$, называется непрерывным в точке $x\in X$, если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$.

В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо.

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

Пожалуй, самый простой функционал — проекция - (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т.д.). Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают функцию от функций, отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле.

Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и т. п.), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.

Функционал в линейном пространстве

Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в линейном пространстве, как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство скаляров. Зачастую (например, когда пространство функций является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.

Особенно важной разновидностью функционалов являются линейные функционалы.

Примеры

• норма функции
• значение функции в фиксированной точке
• максимум или минимум функции на отрезке
• величина интеграла от функции
• длина графика вещественной функции вещественной переменной
• длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути)
• площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов
• скалярное произведение на фиксированный вектор
• действие в механике
• функционал энергии

См. также

• Оператор
• Линейный функционал
• Вариационное исчисление

Литература

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 5.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35 000 экз.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

Ссылки

• Математическая Энциклопедия. Функционал
• Конев В.В., Элементы Функционального Анализа