Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение

Пусть $X$ — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки $x\in X$ найдется её окрестность $U$, гомеоморфная открытому подмножеству пространства $\mathbb {R} ^{n}$, то $X$ называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности $n$.

Пара $(U,\phi )$, где $\phi$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой $X$ в точке $x$. Таким образом, каждой точке соответствует набор $n$ вещественных чисел $(x^{1},\ldots ,x^{n})$, которые называются координатами в карте $(U,\phi )$. Множество карт $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ называется $C^{k}$-атласом $(0\leqslant k\leqslant \infty )$ многообразия $X$, если:

• совокупность всех $U_{\alpha }$ покрывает $X$, т.е. $X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$
• для любых $\alpha ,\beta \in A$ таких, что $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$, отображение:

$\phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$

является гладким отображением класса $C^{k}$;

$\phi _{\alpha }^{\beta }$ является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ с картой $(U_{\beta },\phi _{\beta }).$

Два $C^{k}$-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует $C^{k}$-атлас. Совокупность $C^{k}$-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые $C^{k}$-структурами, при $1\leqslant k\leqslant \infty$ — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие $X$, наделенное $C^{k}$-структурой, называется $C^{k}$-гладким многообразием.

Замечания

• Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую $C^{a}$-структурой.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства $\mathbb {R} ^{n}$ более общих пространств $\mathbb {C} ^{n}$ или даже $K^{n}$, где $K$ — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае $K=\mathbb {C}$ рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) $C^{k}$-структуры ($k\geqslant 1$) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней $C^{\infty }$-структура, и на $C^{\infty }$-многообразии,$0\leqslant k\leqslant \infty$, — $C^{r}$-структура, если $0\leqslant r\leqslant k$. Наоборот, любое паракомпактное $C^{r}$-многообразие, $r\geqslant 1$, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что $C^{0}$-многообразие нельзя наделить $C^{1}$-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число $\theta (n)$ $C^{1}$-неизоморфных $C^{\infty }$-структур на $n$-мерной сфере равно:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$\theta (n)$	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Отображения

Пусть $f:X\to Y$ — непрерывное отображение $C^{r}$-многообразий $X,Y$; оно называется $C^{k}$-морфизмом (или $C^{k}$-отображением, $k\leqslant r$, или отображением класса $C^{k}$) гладких многообразий, если для любой пары карт $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ на X и $(V_{\beta },\psi _{\beta })$ на Y такой, что $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }$ и отображение:

$\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })$

принадлежит классу $C^{k}$. Биективное отображение $f$, если оно и $f^{-1}$ являются $C^{k}$-отображениями, называется $C^{k}$-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае $X$ и $Y$ и их $C^{r}$-структуры называются $C^{k}$-изоморфными.

Подмножества и вложения

Подмножество $Y$ $n$-мерного $C^{k}$-многообразия $X$ называется $C^{k}$-подмногообразием размерности $m$ в $X$, если для произвольной точки $y\in Y$ существует карта $(U,\phi )$ $C^{k}$-структуры $X$, такая, что $y\in U$ и $\phi$ индуцирует гомеоморфизм $U\cap Y$ с (замкнутым) подпространством $\mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}$; иными словами, существует карта с координатами $(x^{1},\ldots ,x^{n})$, такая, что $U\cap Y$ определяется соотношениями $x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$.

Отображение $f:X\to Y$ называется $C^{k}$-вложением, если $f(X)$ является $C^{k}$-подмногообразием в $Y$, а $X\to f(X)$ — $C^{k}$-диффеоморфизм.

Любое $n$-мерное $C^{k}$-многообразие допускает вложение в $\mathbb {R} ^{2n+1}$, а также в $\mathbb {R} ^{2n}.$ Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений $C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})$ относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература

• Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
• Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.