Sari la conținut

Corp (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Acest articol se referă la o structură algebrică. Pentru alte sensuri, vedeți Corp (dezambiguizare).

În algebră, un corp se referă la o mulțime pe care sunt definite niște operații binare numite adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu aceleași proprietății algebrice ca operațiile corespunzătoare pe numerele reale (cu posibila excepție a comutativității înmulțirii; a se vedea mai jos).

Conceptul de corp a fost dezvoltat în secolul al XIX-lea, în trei domenii separate ale matematicii: rezoluția ecuaților polinomiale (cu ce a devenit teoria lui Galois), teoria algebrică a numerelor, și geometria algebrică.[1] A fost un concept unificator, iar corpurile au devenit o structură de bază a matematicii moderne care joacă un rol fundamental în mai multe ramuri ale matematicii.

Se numește corp un triplet în care este o mulțime cu cel puțin două elemente, iar și sunt două operații pe (numite „adunare”, respectiv „înmulțire”) satisfăcând următoarele trei axiome:

  1. este grup abelian cu elementul neutru notat cu .
  2. este grup cu elementul neutru notat cu .
  3. „Înmulțirea” este distributivă față de „adunare”, adică pentru orice :

Dacă, în plus, „înmulțirea” este comutativă, atunci tripletul se numește corp comutativ.

Grupul se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Mulțimea (respectiv ) a numerelor raționale (respectiv reale) înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale (respectiv corpul numerelor reale).

Inelul al claselor de resturi modulo p este corp comutativ dacă și numai dacă p este un număr prim. Reciproc, orice corp finit al cărui cardinal p este prim este izomorf cu .

O submulțime a unui corp se numește subcorp al lui , dacă operațiile algebrice definite pe induc pe operații algebrice, împreună cu care este corp.

Dacă este subcorp al lui , atunci se numește extindere a lui și se notează sau .

Caracterizare

[modificare | modificare sursă]

O submulțime nevidă a unui corp este un subcorp a lui dacă și numai dacă:

Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: .

Exemple de subcorpuri

[modificare | modificare sursă]
  1. Fie un corp. Atunci este un subcorp al lui .
  2. este un subcorp al lui .
  3. Fie , înzestrat cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Avem și .
  • Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
  • Kleiner, Israel (), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 

Legături externe

[modificare | modificare sursă]