Convergență punctuală

În analiza matematică, noțiunea de convergență punctuală sau convergență simplă indică modul cum un șir de funcții converge către o anumită funcție. Un caz particular al acesteia îl constituie convergența uniformă.

Definiție

Fie $(f_{n})_{n}$ un șir de funcții, $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .$ Se spune că șirul $(f_{n})_{n}$ este punctual convergent pe $[a,b]$ către f pentru $n\to \infty$ și se scrie $f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f$ dacă $f_{n}(x_{0})\to f(x_{0})$ (în $\mathbb {R}$) pentru $\forall x_{0}\in [a,b].$

Cazul seriilor de funcții

Se consideră seria de funcții $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x).$ Mulțimea valorilor $x$ pentru care seria este convergentă se numește mulțimea de convergență a seriei, iar funcția $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ astfel încât $f(x)=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x),\;\;S_{n}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)$ se numește suma seriei.

Definiție. Seria $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ este simplu (punctual) convergentă către funcția $f$ dacă șirul sumelor parțiale $(S_{n}(x))_{n}$ este simplu (punctual) convergent către $f.$ Seria $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ este absolut convergentă dacă seria $\sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|$ este simplu convergentă.