Teorema de Stone-Weierstrass

Em matemática, o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass afirma que toda função real contínua cujo domínio é um intervalo compacto, ou seja, fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinômios.

Várias generalizações deste teorema foram estabelecidas, como, por exemplo, generalizando a família de aproximantes (que podem ser substituídos por qualquer álgebra de funções com certas propriedades) ou substituindo o domínio por um compacto qualquer.

Demonstração da versão real

A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein.

Seja $f:[a,b]\to \mathbf {R}$ uma função contínua. Então para todo $\varepsilon >0$, existe um polinômio $P(x)$ tal que:

$\|P(x)-f(x)\|_{L^{\infty }[a,b]}\leq \varepsilon$, ou seja: $|P(x)-f(x)|\leq \varepsilon ,\forall x\in [a,b]$.

Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor $a=0$ e $b=1$.

Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:

${\begin{array}{rcl}\sum _{i=0}^{n}\left(x-i/n\right)^{2}B_{i}^{n}&=&x^{2}\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}-2x\sum _{i=0}^{n}i/nB_{i}^{n}+\sum _{i=0}^{n}(i/n)^{2}B_{i}^{n}\\&=&x^{2}-2x^{2}+{\frac {(n-1)}{n}}x^{2}+{\frac {x}{n}}={\frac {x-x^{2}}{n}}\leq {\frac {1}{4n}},~x\in [0,1]\end{array}}$ (Veja polinómios de Bernstein)

Como $f(x)$ é uma função contínua em um compacto, $f(x)$ é também uniformemente contínua. Logo existe $\delta >0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon /2$ sempre que $|x-y|<\delta$ e $0\leq x,y\leq 1$ e ainda existe uma constante $M$ tal que $|f(x)|\leq M$.

Agora, defina:

$P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(x)$

Como $\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1$, vale que $f(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x)B_{i}^{n}(x)$ e vale a estimativa:

${\begin{array}{rcl}|f(x)-P_{n}(x)|&\leq &\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\\&=&\displaystyle \sum _{S_{1}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)+\displaystyle \sum _{S_{2}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\end{array}}$

onde $S_{1}=\{0\leq i\leq n:|x-i/n|<\delta \}$ e $S_{2}=\{0\leq i\leq n:|x-i/n|\geq \delta \}$.

$\sum _{S_{1}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\leq \sum _{S_{1}}\varepsilon /2B_{i}^{n}(x)\leq \varepsilon /2\sum _{i=1}^{n}B_{i}^{n}(x)=\varepsilon /2$

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{S_{2}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)&\leq &2M\displaystyle \sum _{S_{2}}B_{i}^{n}(x)\leq 2M\displaystyle \sum _{S_{2}}{\frac {(x-i/n)^{2}}{\delta ^{2}}}B_{i}^{n}(x)\\&\leq &{\frac {2M}{\delta ^{2}}}\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(x-i/n)^{2}B_{i}^{n}(x)\leq {\frac {M}{2\delta ^{2}n}}<\epsilon /2,{\hbox{ se }}n>M/\varepsilon \delta ^{2}\end{array}}$

E o resultado segue, escolhendo $n>M/\varepsilon \delta ^{2}$ e $P(x):=P_{n}(x)$.