Quádrica

Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0\,$ onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente zero, representando assim uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Se a superfície quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamado de traço da superfície no plano. A redução da equação geral das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos.

Plano cartesiano

Como a dimensão do plano é 2, ou $\mathbb {R} ^{2}$ , as quádricas no plano cartesiano têm dimensão um e são curvas planas. Também são chamados de seções cónicas ou cónicas.

Círculo (e = 0), elipse (e = 0.5), parábola (e = 1) e hipérbole (e = 2) com um foco fixo F e uma diretriz.

Superfícies

Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral, for cortada por um plano paralelo a um dos planos coordenados, a curva de interseção será uma cônica.

Superfície Esférica

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo $P=(x,y,z)\in S\,$ e C = $(x_{o},y_{o},z_{o})\,$ então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

$(x-x_{o})^{2}+(y-y_{o})^{2}+(z-z_{o})^{2}=r^{2}\,$

Se aproximarmos um plano $\pi \,$ de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

$\pi \cap S=\{Pt\}\,$

${\overline {C\ Pt}}\perp \pi \,$

$d(C,\pi )=r\,$

Porém, se o plano $\pi$ tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que $d(C,\pi )<r\,$ .

Superfície Cilíndrica

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície Cônica

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Superfície de Rotação

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.

r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.

Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).

S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.

Superfícies Quádricas

Relação das superfícies quádricas da sua fórmula e desenho:
Superfície quádrica	Fórmulas	Desenho
Elipsoide	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Elipsoide de revolução (caso particular do elipsoide)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$
Esfera (caso particular do elipsoide de revolução)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,$
Paraboloide elíptico	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Paraboloide de revolução (caso particular do paraboloide elíptico)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$
Paraboloide hiperbólico	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Hiperboloide de uma folha	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Hiperboloide de duas folhas	$-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Cone	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
Cilindro elíptico	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Cilindro circular (caso particular do* Cilindro elíptico)*	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$
Cilindro hiperbólico	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Cilindro parabólico	$x^{2}+2y=0\,$