Posto matricial

O posto ^{(português brasileiro)} ou característica ^{(português europeu)} de uma matriz (em inglês, "matrix rank") é o número de linhas não-nulas da matriz em causa, quando escrita na forma escalonada por linhas. Equivalentemente, corresponde ao número de linhas ou colunas linearmente independentes da matriz. A característica de uma matriz tem várias implicações em relação à independência linear e a dimensão de um espaço vetorial.

O posto de uma matriz pode ser encontrado através dos menores da matriz ou forma escalonada reduzida por linhas.

Forma Escalonada Reduzida por Linhas

Nesta forma, é necessário que as matrizes tenham todo o elemento de uma linha que antecede o pivô como nulo. O pivô de uma matriz é quando a linha $m$ e a coluna $n$ tem o mesmo valor, ou seja, $m=n$. Seja uma matriz $A$ com dimensões $3\times 4$:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\end{pmatrix}}$

Reduzindo à Forma Escalonada Reduzida por Linhas soma elementos da segunda linha com os elementos da primeira linha multiplicados por ${\frac {-a_{21}}{a_{11}}}$. Resultando:

$A'={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}-{\frac {a_{12}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{23}-{\frac {a_{13}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{24}-{\frac {a_{14}\times a_{21}}{a_{11}}}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\end{pmatrix}}$

Repetindo o mesmo processo de com a terceira linha, resulta-se:

$A'={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}-{\frac {a_{12}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{23}-{\frac {a_{13}\times a_{21}}{a_{11}}}&a_{24}-{\frac {a_{14}\times a_{21}}{a_{11}}}\\0&a_{32}-{\frac {a_{12}\times a_{31}}{a_{11}}}&a_{33}-{\frac {a_{13}\times a_{31}}{a_{11}}}&a_{34}-{\frac {a_{14}\times a_{31}}{a_{11}}}\\\end{pmatrix}}$

Repetindo o mesmo processo transformando $a_{32}-{\frac {a_{12}\times a_{31}}{a_{11}}}$ em 0, seja a matriz $E$ a matriz escalonada, tem-se:

$E={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&e_{22}&e_{23}&e_{24}\\0&0&e_{33}&e_{34}\end{pmatrix}}$.

O posto será o número de linhas que tem elementos diferente de 0 após o escalonamento. Se a matriz for quadrada, e o posto for igual ao número de linhas, então a matriz tem Posto Cheio (full rank). Resultando em uma matriz linearmente independente, e um dos pré-requisitos para a inversão de matriz.

Caso não seja possível por esse método, é recomendado utilizar outros métodos, como através do método de menor.

Característica de uma matriz

De acordo com o teorema de Kronecker, a característica de uma matriz B é c se e somente se:

• Existe pelo menos uma submatriz $c\times c$ cujo determinante é diferente de zero.
• Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.

Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.

Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz $c\times c$ com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,

• $\mathrm {car} (B)\leqslant m$
• $\mathrm {car} (B)\leqslant n$

onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.

Literatura

• Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]
• Boldrini; Costa; Figueiredo; Wetzler Álgebra Linear, 3a edição, Editora Habra.

Ver também

• Álgebra linear