Número do bolo

Três planos ortogonais cortam um bolo convexo em no máximo oito pedaços

Em matemática, o número do bolo, denotado por C_n, é o máximo do número de regiões nas quais um cubo tridimensional pode ser particionado por exatamente n planos. O número do bolo é assim chamado porque se pode imaginar cada partição do cubo por um plano como uma fatia feita por uma faca através de um bolo em forma de cubo. É o análogo 3D da sequência do bufê preguiçoso.

Os valores de C_n para n = 0, 1, 2, ... são dados por 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, ... (sequência A000125 na OEIS).

Fórmula geral

Se n! denota o fatorial, e denotamos os coeficientes binomiais por

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},$

e assumimos que n planos estão disponíveis para particionar o cubo, então o n-ésimo número de bolo é:

$C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).$

Propriedades

Os números do bolo são o análogo tridimensional da sequência do bufê preguiçosobidimensional. A diferença entre números de bolo sucessivos também fornece a sequência do bufê preguiçoso.

A quarta coluna do triângulo de Bernoulli (k = 3) fornece os números do bolo para n cortes, onde n ≥ 3.

A sequência pode ser derivada alternativamente da soma de até os primeiros 4 termos de cada linha do triângulo de PascalA sequência pode ser derivada alternativamente da soma de até os primeiros 4 termos de cada linha do triângulo de Pascal:

k n	0	1	2	3		Soma
0	1	—	—	—		1
1	1	1	—	—		2
2	1	2	1	—		4
3	1	3	3	1		8
4	1	4	6	4		15
5	1	5	10	10		26
6	1	6	15	20		42
7	1	7	21	35		64
8	1	8	28	56		93
9	1	9	36	84		130