Lei de Gauss para o magnetismo

Na física, a Lei de Gauss para o magnetismo é uma das quatro equações de Maxwell que são a base da eletrodinâmica clássica. Ela estabelece que o campo magnético B tem divergente igual a zero,^[1] ou seja, que é um campo vetorial solenoidal. Isso é equivalente à afirmação de que não existem monopolos magnéticos.^[2] Em vez de “cargas magnéticas”, a entidade básica do magnetismo é o dipolo magnético. (Se em algum momento monopolos magnéticos forem encontrados, a lei deverá ser modificada, conforme explicado abaixo.)

A lei de Gauss para o magnetismo pode ser escrita de duas maneiras: a forma diferencial e a forma integral. Ambas maneiras são equivalentes graças ao teorema da divergência

O nome “lei de Gauss para o magnetismo”^[1] não é usado universalmente. A lei também é chamada de “Ausência de polos magnéticos livres”;^[2] uma referência até explicitamente diz que a lei “não tem nome”.^[3] Ela também pode ser referida como “exigência de transversalidade”,^[4] porque para ondas planas ela requer que a polarização seja transversal à direção de propagação.

Forma diferencial

A forma diferencial para a lei de Gauss para o magnetismo é:

$\nabla \cdot B=0$

onde $\nabla \cdot$ denota divergente e B é o campo magnético.

Forma integral

Definição de uma superfície fechada. **Esquerda**: exemplos de superfícies fechadas que incluem a superfície de uma esfera, superfície de um toro e superfície de um cubo. O fluxo magnético através de qualquer uma dessas superfícies é zero. **Direita**: alguns exemplos de superfícies abertas (não fechadas) que incluem a superfície de um disco, de um quadrado e uma superfície de hemisfério. Todas elas têm fronteiras (em vermelho) e elas não limitam um volume tridimensional completamente. O fluxo magnético através dessas superfícies *não necessariamente* é zero

A forma integral da lei de Gauss para o magnetismo declara:

${\textstyle \oiint \limits _{S}B\cdot dA=0}$

Onde S é uma superfície fechada, e dA é um vetor cuja magnitude é a área de uma peça infinitesimal da superfície S e cuja direção é a normal à superfície orientada para fora. (Ver integral de superfície para mais detalhes.)

A parte esquerda dessa equação é chamada de fluxo líquido de campo magnético para fora da superfície, e a lei de Gauss para o magnetismo diz que isso é sempre zero.

As formas diferencial e integral da lei de Gauss para o magnetismo são matematicamente equivalentes, devido ao teorema da divergência. Dito isso, pode ser mais conveniente usar uma ou outra em uma situação particular.

A lei nessa forma implica que para cada elemento de volume no espaço, existem exatamente o mesmo número de “linhas de campo magnético” entrando e saindo do volume. Nenhuma “carga magnética total” pode existir em nenhum ponto do espaço. Por exemplo, um polo sul magnético é exatamente tão forte quanto um polo norte magnético, e polos sul livres no espaço, sem polos norte acompanhando, não são permitidos. Em contraste, isso não é verdadeiro para outros campos, como campos elétricos e campos gravitacionais, onde cargas elétricas ou massas totais podem existir em um volume do espaço.

Vetor potencial

Devido ao teorema da decomposição de Helmholtz, a lei de Gauss do eletromagnetismo é equivalente à seguinte afirmação:^[5]^[6] Existe um vetor A de modo que

$B=\nabla \times A$ .

Esse vetor A é chamado de vetor potencial magnético.

Perceba que há mais de uma possibilidade para A que satisfaça essa equação para um dado campo B. Na verdade, há infinitas soluções: qualquer vetor na forma ᐁɸ (gradiente) pode ser adicionado a A para se conseguir uma escolha alternativa para A, pelas identidades (ver identidades de cálculo vetorial):

$\nabla \times A=\nabla \times (A+\nabla \phi )=\nabla \times A+\nabla \times \nabla \phi$ e $\nabla \times \nabla \phi =0$

Essa arbitrariedade de A é chamada de liberdade de gauge.

Linhas de campo

O campo magnético B, como qualquer outro campo vetorial, pode ser descrito via linhas de campo (também chamadas de linhas de fluxo) – ou seja, um conjunto de curvas cuja direção corresponde à direção de B e cuja densidade areal é proporcional à magnitude de B. A lei de Gauss para o magnetismo é equivalente à afirmação de que as linhas de campo não têm nem começo nem fim: cada uma delas forma um ciclo fechado, serpenteia para sempre, sem nunca voltar a si mesma exatamente, ou se estende ao infinito.

Modificação caso monopolos magnéticos existam

Se monopolos magnéticos forem descobertos, então a lei de Gauss para o magnetismo iria dizer que o divergente de B seria proporcional à densidade de carga magnética ρ_m, analogamente à lei de Gauss para campos elétricos. Para uma densidade líquida de carga magnética nula (ρ_m = 0), a forma original da lei de Gauss do magnetismo é o resultado.

A fórmula modificada em unidades do sistema internacional (SI) não é padrão; em uma variação, a carga magnética tem unidade de webers; em outra, de ampere-metros.


Unidade	Equação
Unidades cgs	$\nabla \cdot B=4\pi \rho _{m}$
Unidades SI (convenção Weber)	$\nabla \cdot B=\rho _{m}$
Unidades SI (convenção Ampere-metro)	$\nabla \cdot B=\mu _{0}\rho _{m}$

Onde $\mu _{0}$ é a permeabilidade do vácuo.

Até hoje, nenhum monopólio magnético foi encontrado, apesar de buscas extensas.

História

A ideia da inexistência de monopolos magnéticos originou-se em 1269 por Petrus Peregrinus de Maricourt. O seu trabalho influenciou fortemente William Gilbert, cuja obra De Magnete, de 1600, espalhou a ideia além. No começo do século XIX, Michael Faraday reintroduziu essa lei e ela consequentemente fez o seu caminho até chegar nas equações de James Clerk Maxwell para campos eletromagnéticos.

Computação numérica

Na computação numérica, a solução numérica pode não satisfazer a lei de Gauss para o magnetismo devido a erros de discretização dos métodos numéricos. Entretanto, em muitos casos – como, por exemplo, para a magneto-hidrodinâmica – é importante preservar a lei de Gauss para o magnetismo precisamente (até a precisão da máquina). A violação da lei de Gauss do magnetismo a nível discreto introduzirá uma forte força não física. Tendo em vista a conservação de energia, a violação dessa condição leva a uma integral de energia não conservativa, e o erro é proporcional ao divergente do campo magnético.^[7]

Ver também

Referências

↑ ^a ^b Chow, Tai L. (2006). Introduction to electromagnetic theory : a modern perspective. Boston: Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0763738271. OCLC 61261375
↑ ^a ^b Jackson, John David, 1925-2016. (1999). Classical electrodynamics 3.ª ed. New York: Wiley. ISBN 047130932X. OCLC 38073290
↑ Griffiths, David J. (David Jeffery), 1942- (1999). Introduction to electrodynamics 3.ª ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 013805326X. OCLC 40251748
↑ Joannopoulos, J. D. (John D.), 1947- (2008). Photonic crystals : molding the flow of light 2.ª ed. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691124568. OCLC 180190957
↑ Ciarlet, Philippe G.,; Lions, J.-L. (Jacques-Louis), 1928-2001, (1990–2018). Handbook of numerical analysis. Amsterdam: North-Holland. ISBN 9780444703668. OCLC 20355794
↑ Jackson, John David, 1925-2016. (1999). Classical electrodynamics 3.ª ed. New York: Wiley. ISBN 047130932X. OCLC 38073290
↑ Brackbill, J.U; Barnes, D.C (maio de 1980). «The Effect of Nonzero ∇ · B on the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations». Journal of Computational Physics (em inglês). 35 (3): 426–430. doi:10.1016/0021-9991(80)90079-0

[:0-1] Chow, Tai L. (2006). Introduction to electromagnetic theory : a modern perspective. Boston: Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0763738271. OCLC 61261375

[:1-2] Jackson, John David, 1925-2016. (1999). Classical electrodynamics 3.ª ed. New York: Wiley. ISBN 047130932X. OCLC 38073290

[3] Griffiths, David J. (David Jeffery), 1942- (1999). Introduction to electrodynamics 3.ª ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 013805326X. OCLC 40251748

[4] Joannopoulos, J. D. (John D.), 1947- (2008). Photonic crystals : molding the flow of light 2.ª ed. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691124568. OCLC 180190957

[5] Ciarlet, Philippe G.,; Lions, J.-L. (Jacques-Louis), 1928-2001, (1990–2018). Handbook of numerical analysis. Amsterdam: North-Holland. ISBN 9780444703668. OCLC 20355794

[6] Jackson, John David, 1925-2016. (1999). Classical electrodynamics 3.ª ed. New York: Wiley. ISBN 047130932X. OCLC 38073290

[7] Brackbill, J.U; Barnes, D.C (maio de 1980). «The Effect of Nonzero ∇ · B on the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations». Journal of Computational Physics (em inglês). 35 (3): 426–430. doi:10.1016/0021-9991(80)90079-0

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